【中考数学】“线段最值”系列之（2）将军饮马问题及变式

一、原型再现

唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说:'白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河'诗中隐含着一个有趣的数学问题.

这个问题早在古罗马时代就有了，传说亚历山大城有一位精通数学和物理的学者，名叫海伦，一天，一位罗马将军专程去拜访他，向他请教一个百思不得其解的问题.

如图所示，诗中将军在观望烽火之后从山脚下的A点出发，走到河边饮马后再到B点宿营，请问怎样走才能使总的路程最短?

这个问题的解决并不难，据说海伦略加思索就解决了它，从此，这个被称为'将军饮马'的问题广泛流传.

将此实际问题抽象成以下数学问题

问题1：如图1，在定直线l上找一个动点P，使动点P到两个定点A与B的距离之和最小，即PA+PB最小.

图1                  图2

简析：如图2，作出定点B关于定直线l的对称点C，连接AC，与定直线l的交点Q即为所要寻找的点，即当动点P跑到了点Q处，PA+PB最小，且最小值等于AC.

解决这个的主要思想是：“对称转化”，即通过作其中一个定点关于定直线的对称定点，转化两点之间的距离最值，再结合本质原理“两点之间，线段最短”.

二、模型变形

变式1（异侧型）：

问题2：如图3，已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定（长度为d）,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小。

图3                     图4

简析：如图4，过点A作平行于直线m的线段AC使AC=d，连接BC交直线m于一点即为点Q，过点A作CQ的平行线交直线m于点P；因为线段PQ长度恒定，所以PA+PQ+QB最小值就转化为PA+QB的值最小，由平行四边形性质可知PA=CQ，所以PA+QB就转化为CQ+QB的最小值，结合“两点之间线段最短”即可解释.

上面对于问题2的解决，主要思想是“平移转化”！

变式2（同侧型）：

问题3：如图5，已知A、B是两个定点，P、Q是直线m上的两个动点，P在Q的左侧,且PQ间长度恒定（长度为d）,在直线m上要求P、Q两点，使得PA+PQ+QB的值最小.

图5                 图6

简析：如图6，过点A作平行于直线m的线段AC使AC=d，作点B关于直线m的对称点B’，连接B’C交直线m于一点即为点Q，过点A作CQ的平行线交直线m于点P；因为线段PQ长度恒定，所以PA+PQ+QB最小值就转化为PA+QB的值最小，由平行四边形性质和对称性质可知PA=CQ、BQ=BQ’，所以PA+QB就转化为CQ+QB’的最小值，结合“两点之间线段最短”即可解释.

上面对于问题3的解决，主要思想是“对称转化”和“平移转化”！

变式3（过河问题）：

问题4：如图7，已知A、B是两个定点，两条平行直线l与m之间的距离为定值d，在定直线l上找一动点M，在定直线m上找一动点N，且MN始终垂直于定直线l（或m），使AM+MN+NB最小.

图7                图8

简析：如图8，主要思想是平移转化，同学们请自行尝试解释.

初中阶段所学过的具有轴对称特征的图形均可作为“将军饮马”问题的背景，关键是找到“那条河”，然后利用对称转化、平移转化等思想就可轻松解决问题，下面让我们进入实战演练.

三、实战演练

例1.如图，在边长为4的正方形ABCD中，E是AB边上的一点，且AE=3，点Q为对角线AC上的动点，则△BEQ周长的最小值为    ．

图9            图10

简析：第一步：作图，此图为饮马模型，找到“那条河”了吗？只不过它斜着的，即为AC，因此只要作出点B或点E关于AC的对称点，再利用两点之间线段最短就可解释.因为正方形为轴对称图形，AC就是对称轴之一，所以点B关于AC的对称点就是点D，连接DE与AC交于点Q即为所求；第二步：计算，利用勾股定理易得△BEQ周长的最小值为6.

例2.在平面直角坐标系中，矩形OACB的顶点O在坐标原点，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上，OA=3，OB=4，D为边OB的中点.

图11

（1）若E为边OA上的一个动点，当△CDE的周长最小时，求点的坐标；

（2）若E、F为边OA上的两个动点（E点在F点左边），且EF=2，当四边形CDEF的周长最小时，求点E、F的坐标.

简析：（1）第一步：作图.这是典型的“饮马问题模型”，首先找到“那条河”，再利用对称转化即可解决.如图，可以作点D关于轴的对称点D'，连接CD'与x轴交于点E，此时△CDE的周长是最小的.这样，你只需求出的长，就可以确定点E的坐标了.第二步：计算.利用一次函数或相似均可求解，点E的坐标为（1,0）.

图12         图13

第一步：作图，此问题为饮马问题变式2，利用“平移转化”和“对称转化”解决问题.如图11，取CG=2，作点D关于x轴的对称点D’，连接GD’，交x轴于一点即为点E，再过点C作GD’的平行线交x轴于一点即为点F；第二步：计算，同上亦可采用函数法和相似法求解，解得E、F点坐标分别为（三分之一，0）、（三分之七，0）.

四、配套练习

1．如图所示，正方形ABCD的边长为6，△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P，使PD+PE的和最小，则这个最小值为   ．

2.如图，等边△ABC的边长为6，AD是BC边上的中线，M是AD上的动点，E是AC边上一点，若AE=2，EM+CM的最小值为____________.

3.如图，AB是⊙O的直径，AB=8，点M在⊙O上，∠MAB=20°,N是弧MB的中点,P是直径AB上的一动点，若MN=1，则△PMN周长的最小值为__________.

4.如图，在菱形中ABCD，AB=6，∠ABC=60度，点M、N分别在AB、AD边上，AM=AN=2，P是对角线BD上的动点，则PM+PN的最小值是          .

5.在如图所示的平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（1，0），B（2，0）是x轴上的两点，则PA+PB的最小值为______．

6.如图，在矩形ABCD中，AB=5,AD=3.动点P满足S矩形ABCD=3S△PAB.则PA+PB最小值为____.