【杨辉三角/二项式系数】- 图解高中数学
下面这样看起来一堆数字组成的三角形状, 就是杨辉三角. 杨辉三角, 又称贾宪三角形, 帕斯卡三角形, 海亚姆三角形. 在这堆数字里边隐藏了很多信息和模式, 在数学发展之中一直让很多数学家都为之深深着迷和研究.
杨辉三角的历史
在10世纪, 波斯数学家欧玛尔·海亚姆发现了这个三角形, 而且还知道可以这个三角形和它跟二项式的关系, 但他们的著作并没有被保存下来.
11世纪北宋数学家贾宪发明了贾宪三角, 这样可以求任意高次方的展开式系数. 贾宪的三角表图和文字描写，仍保存在大英博物馆所藏《永乐大典》中.
13世纪中国南宋数学家杨辉在《详解九章算术》里解释这种形式的数表,并说明此表引自11世纪前半贾宪的《释锁算术》.
1655年法国数学家布莱士·帕斯卡的著作中介绍了这个三角形. 并且帕斯卡进一步研究它, 并以此解决一些概率论上的问题, 影响最为广泛, 所以西方书中称这个三角为帕斯卡三角.
生成杨辉三角
这次看看都有那些模式和规律在里面呢? 先来看看怎样用一个固定的规则来生成杨辉三角吧.
图自维基
每个数是它左上方和右上方的数的和, 用这样非常简单的规律这样最终可以得到一个无穷无尽的三角形.
与二项式系数联系
杨辉三角中有意思的是, 其中它的每一行数字都与二项式展开后系数相联系.
其中 n 代表在杨辉三角上行数, 且初始值为 0. 当 n 等于不同的整数展开多项式, 得到的每一项的系数, 都会跟杨辉三角对应行数的一整行数字完全一致.
所以杨辉三角是一种二项式系数更简洁的写法. 不仅如此, 如果把每一行数字相加的结果, 则会是 2^n 次幂.
或者每一行的数字写成由数字组成的数刚好就是 11^n 的次幂:
与几何的联系
在杨辉三角形每横行从右到左或左到右的第4项找到的这个数被称为三角形数(Triangular numbers), 因为这个数目的点或圆在等距离的排列下可以形成一个等边三角形, 比如 10个点可以组成一个等边三角形，因此10是一个三角形数.
用这些数字对应的圆球可以砌成一个等边三角形的形状:
继续往下一个斜对角线上(每横行从右到左或左到右的第4项)的所有数字被称为四面体数(Tetrahedral Number), 该数字对应可以排成底为三角形的四面体的数.
如下图球体所组成的五层高的正四面锥体:
此外, 在杨辉三角形中还隐藏着一个分形图案 - 谢尔宾斯基三角行(Sierpinski Triangle), 只需要将所有数字是奇数加上颜色, 马上就能识别出来:
文中所提及这个神秘三角形的内容, 也只是所找到的模式和规律的一部分, 或许有更有趣的模式还在等你来探索和发现.
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