【第二类曲面积分】- 图解高等数学 21
第一类曲面积分(对面积的曲面积分)的物理意义就是对于密度分布不均匀的曲面要计算其质量.
第二类曲面积分(对坐标的曲面积分)的物理意义是求流速场通过曲面 S 的流量, 也就是如何计算单位时间通过横断面流体的体积.
先来看一种非常理想的状态:
假设水的流速 v , 横截面面积为 S, 如下图所示当流速的方向和截面的法方向平行(与截面垂直)时候, 则流量 = v·S
如果截面的法方向与流速方向不一致(有夹角), 那通过该截面的流体流过的总量就会受到影响 - 实际上相当于计算截面投影的流量, 也就是流量为:
观察下面动图随着截面的法方向与流速方向夹角不断增大, 投影面的流量逐渐变小, 在夹角为 90°时候, 流过截面的流量为 0 .
但在现实遇到的流量问题截面会呈各种曲面, 且在曲面 S 不同的位置有不同方向的流速, 那要计算通过曲面流量呢?
还是老办法 - 分割取近似, 求和取极限:
分割曲面中为很多小区域 - 曲面微元 dS, 因为非常非常小, 所以可以当做平面来进行处理, 并且将通过该区域的流体速度视为匀速. 观察下动图来理解这种思想.
对于每一个曲面微元 dS , 按照上面的思想将向量函数与切平面的法方向上做投影, 然后再做第一类曲面积分.
去掉问题的物理背景, 对于向量函数 F(f,g,h), 平滑的曲面 r(u,v)=(x(u,v),y(u,v),z(u,v)) 而言:
上面就是制作的图解高等数学第二类曲面积分例子. 好了, 现在让我们在下一篇的中来看一看其他高数相关概念的动图.
因为本人水平有限, 疏忽错误在所难免, 所以还请各位老师和朋友不吝赐教, 多提宝贵意见, 帮助我改进这个系列. 感谢关注! Thanks!
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