一、八大特色

特色 1：给出抽象数学概念和方法的直观解释
特色 2：将数学概念和方法视为自然和社会本质规律的投射
特色 3：选材尽量贴近学生生活体验，避免空洞说教
特色 4：重视数学结果对现实世界的指导价值
特色 5：内容涵盖机器学习和神经网络的数学基础
特色 6：基于高中课内知识并作适当延申，适合用于优秀高中生及低年级本科生的培养
特色 7：建模和求解过程详尽，重视数学思想的渗透
特色 8：重视数学德育和用数学解决社会矛盾的引导

下面分别用示例说明：

特色 1：给出抽象数学概念和方法的直观解释

示例 1：（第 7 章-曲线论初步节选）三维曲线的第二类奇点需要上升到四维中才能消除，这有着深刻的物理意义——我们每天都从家里出发到各个地方去，每天出门都指向不同的方向。如果有一架曝光时间超长的相机一直正对着你家的门口，那么洗出的照片上将呈现出你同时从家门口走向各个方向的样子，这就是可消奇点的样子；但是如果记录的设备不是照相机，而是摄像机，那么我们看到的就不是一张静态的照片，而是动态的影像，可以看到你在不同时间从家门口出发前往不同的方向，对应着奇点解消的样子。（如下图 1 所示。）

示例2：（第18章-非线性规划的拉格朗日乘数法节选）假如某天你要去登一座高山，不需要海拔计或地图，你自然能分辨自己是处于山脚、山腰还是山顶。想一想，你是如何判断的呢？

如果你会飞翔，那么提升高度的最快速度肯定是沿着地球重心和你的连线的方向一直升高。在登山时，当你前进的方向与这个方向的夹角为锐角时，你所处的高度就在上升；若你前进的方向与这个方向的夹角为钝角时，你所处的高度就在下降；而在山顶上时，任何的移动方向都和这个方向垂直，如图2所示。

这个生活经验为解决非线性规划问题提供了有效的策略：首先，我们需要明确函数值变化最快的方向；然后，研究曲面（2）的地形何时与这个变化方向垂直，这个垂直位置就是使得达到极值的位置。

特色 2：将数学概念和方法视为自然和社会本质规律的投射

示例 3：(第 15 章-矩阵与行列式的计算节选)李华每天都购买彩票，但是他既想买体育彩票，也想买福利彩票，拿不定主意。他想到一个办法来治疗自己的“选择困难”——如图 3 所示，若上一次购买的是体育彩票，那么这一次就以的概率继续购买体育彩票，以的概率转而购买福利彩票；如果上一次购买的是福利彩票，那么这一次就以的概率继续购买福利彩票，而以的概率转去购买体育彩票。试问：假如李华周一购买的是体育彩票，那么在周三他购买体育彩票和福利彩票的概率各为多少？

根据概率论中互斥随机事件概率的加法原理和分步随机事件概率的乘法原理，可知：

李华在周三购买体育彩票的概率为

而他在周三购买福利彩票的概率为

现在如果设矩阵

并定义“矩阵的乘法”形如

则

这个矩阵从概率上看反映了周一到周三各状态间的转移概率，其中第一行的两个数恰好就是和，这不是巧合。

可见，如上定义的矩阵的乘法是具有普遍意义的。它的特点是不同位置的数字在运算中并非相互独立，而是互相影响，而且这种影响实际上是自然界普适的加法原理、乘法原理的转译。

特色 3：选材尽量贴近学生生活体验，避免空洞说教

示例 4：（第 20 章-意见调和与 AHP 层次分析法节选）小明在北京念大学，想利用十一假期去外地旅行，备选地点有三处——九寨沟、西藏和大理。小明希望能综合考虑景色、费用、饮食、路程和文化五个方面，最后确定一处作为目的地。

这个问题中，挑选目的地是最终目标，挑选的准则是景色、费用、饮食、路程和文化，备选的方案有九寨沟、西藏和大理。构成了图 5 中所示的网络图。通过 AHP 层次分析法（详见书中例子），可得表 2 所示的决策表格。

最终决策向量为，对应西藏、九寨沟和大理三个方案的得分分别为，于是小明应该选择去大理。

特色 4：重视数学结果对现实世界的指导价值

示例 5：（第 21 章-数据的自组织分类与 K-Means 聚类分析节选）表 1 是国家统计局官网发布 2017 年城镇非私营单位就业人员分行业年平均工资数据。用增强 K-Means 聚类分析方法对所列的 19 个行业从“2017 年各行业的年平均工资”及“名义增长率”这两个维度进行分类，分类结果及效果如图 4 和表 2 所示。（具体方法及其数学推导详见书中例子）

图 5 19 个行业从“2017 年各行业的年平均工资”及“名义增长率”两个维度进行自组织分类的效果图，结果分为四类，以不同点形表示

表 3 19 个行业从“2017 年各行业的年平均工资”及“名义增长率”两个维度进行分类的结果

特色 5：内容涵盖机器学习和神经网络的数学基础

书中精细阐述机器学习和神经网络数学基础和基本方法的章节有

第 21 章-数据的自组织分类与 K-Means 聚类分析
第 22 章-有监督学习与支持向量机
第 23 章-信息论初步：信息熵与最优编码
第 24 章-神经网络与深度学习

并辅助以大量例子和直观图示解读和示范。

特色 6：基于高中课内知识并作适当延申，适合用于优秀高中生及低年级本科生的培养

示例 6：（第 11 讲-军备竞赛模型节选）设含有参数的微分动力系统形如

不同的的取值可使得该微分方程组形成不同的向量场和流。下面的图 6 为不同参数取值下的所有 81 个向量场的分布图，你能从种看到哪些对称性规律吗？你能证明这些规律吗？

特色 7：建模和求解过程详尽，重视数学思想的渗透

示例 7：（第 9 章-人口模型节选）从图 7 可以看到，从 1950 年到 2015 年的人口总数一直呈现增长趋势，但是增长的速度不尽相同。初期人口增长速度较快，到了 1990 年之后则明显放缓。虽然这些数据看上去有些像是在分布在一条直线附近，但是这里并不适宜用直线去做数据拟合，因为人口不可能无限制地增长。那该用什么曲线去拟合这些数据以便做出预测呢？

如果选用拉格朗日多项式函数，正如第8章中的例子里提到的，拟合曲线在数据集的两端，也就是头几年和最后几年的数据点处附近可能出现大波动，这将直接导致预测失败。

如果选用三阶样条函数呢？虽然能够保证拟合曲线经过每一个数据点，但是这种为了拟合而拟合的办法将使得我们无法从每段函数的各项系数中获取有效信息，没法达成“挖掘人口增长规律”这一任务。同样的问题也会出现在一般的用低次多项式进行的拟合中，更别说如果整体上用一个多项式函数拟合的话，在时间变量充分大的时候，拟合函数值总会趋于正无穷或者负无穷，这显然与现实的情况不符。

事实上，对于这个问题来说，拟合函数的“选择”，需要从问题的背景中去入手。

特色 8：重视数学德育和用数学解决社会矛盾的引导

示例 8：（第 24 章-神经网络与深度学习节选）深度学习或者狭隘地说，深度神经网络，其本质是提取输入对象的特征。为了训练网络，往往需要大量的学习样本以支撑训练。好的学习样本应该具有大量性、多样性和即时性——大量性和多样性是为了保证统计规律得以充分暴露，同时多样性也是多输入到多输出的深度网络的自然要求；即时性的要求是为了用与时俱进的学习样本带来被训练网络的与时俱进——大量性（Volume）、多样性（Variety）和即时性（Velocity），业界通常称为“3V 特征”。具有 3V 特征的数据，被称为“大数据”——大数据也被分为两类，一类是用来做学习样本的，需要给出输入所对应的期望结果；一类是用来做分析预测的，没有期望结果，需要通过训练好的网络来挖掘其数据特征。

如果将深度学习看作是一台带有智能的机器的话，那么具有 3V 特征的大数据就是它生产所需的原料和驱动所需的燃料。如同工业时代的工业机器所需的煤炭和石油是由人工开采的一样，作为学习样本用途的大数据也需要人工来“标注”——例如，如果需要训练某个深度网络识别图片是白天还是黑夜，就需要人工对大量照片标注“白天”或“黑夜”，以形成学习样本——正是这种听起来就很机械和耗时的工作，正在滋生新的社会问题。

下面的文字摘自李开复的著名博文《数据折叠：那些 AI 背后“标数据的人”正在回家》。

“2017年，仅北京中关村大数据产业规模就超过700亿元；贵阳2017年的大数据产业及其相关联产业规模总量超过1500亿元。AI行业的总规模也在持续增加，根据麦肯锡2017年4月发布的一份报告，到2025年，AI应用的总市场可能达到1270亿美元。”

“但标注数据的人，生活在这些巨额数字之外，拿着不高的工资，活动在“第二空间”。”

“从三里屯驱车1小时，行驶30公里，就到了北京邮电大学宏福校区。这里有北邮和华腾硕博合办的电子商务培训班，学生总数300多人，高峰时期，有120多人参与数据标注的兼职项目。”

“标注工作室占满了某栋教学楼二层的5个房间，150台电脑前坐着一群十八九岁的学生，正盯着电脑屏幕给图片拉框。他们流程化地操作鼠标——这些枯燥的工作，最终将用于热闹炫酷的无人驾驶项目。从做数据标注的教室窗口向外望，可以看到北邮的教一，那里有国际学院和计算机专业学生专用的机房......兼职标数据的培训班学员一个月的收入在2000元左右。如果全职做，人均工资约4000到5000元。而坐在教一的未来算法工程师，刚毕业时，起薪就可能达到30万元/年。”

大数据的 3V 特征保证了信息自身的价值，但这些价值是自有属性，是隐性的。大数据就好像是等待被挖掘的金矿，它的隐性价值需要通过“数据标注”和“数据挖掘”才能够显性地展现出来，并在应用中不断迭代，创造更多价值。

2%和 98%的关系在大数据时代已然存在。在智能时代，这一轮的原始积累依然可能血迹斑斑。人们不想走以前的老路，而发展的问题只能由发展解决。

区块链技术应运而生。

区块链技术是一种依托于密码机制的去中心化分布式账本技术，它保证了每一笔交易和记录都是可以追溯并证明有效性或证伪的。限于本书的主题，无意展开对区块技术的详细描述。但是我们还是要指出：一旦区块链技术和大数据结合起来，使得每一条数据是可以被追溯的，那么从数据被采集和标注开始，后面的每一个应用该数据产生了价值的个体或机构，都应该以一定的比例向上游从业者支付费用。这种模式下，大数据将不再被一些新时代的“数据寡头”所垄断，其产生、使用及产出都变成了社会化大生产，技术和价值将同步进行新一轮的迭代增长。

回到前文中的那个比喻——如果将深度学习看作是一台带有智能的机器的话，将 3V 特征的大数据就看作生产所需的原料和驱动所需的燃料——那么区块链技术就是这台机器的润滑剂和燃料的助燃剂，它依托于技术，使用信用“对社会编程”。

衷心希望各位读者，可以在利用技术创造价值的同时，兼顾社会责任。避免新一轮的技术革命，和以往的技术革命一样，伴随着半个多世纪的动荡。毕竟科学也好，技术也罢，其终极的目标，就是为人类谋福祉，而不是带来一代人又一代人的牺牲和焦虑。

二、四种用法

用法 1：作为高中数学建模选修课教材使用；

用法 2：作为高中生数学拓展自学读物；

用法 3：作为高中教师的教学辅助资料；

用法 4：作为低年级大学生的数学建模学习材料。

● 严正声明：虽然长期一线教学实践证明学习《面向建模的数学》的大多数学员都在各级数学建模竞赛中取得了极其突出的优秀成绩，但本书并不是一本面向数学建模竞赛的备考书，书中也没有对往届赛题的分析或答题技巧等内容。希望读者可以淡化功利目的，通过本书领略数学和数学建模内在的真善美，真正提升自己的数学素养和能力，这样反而会获得极大的能力提升！

三、序言和推荐词

序言

数学在人类历史发展和社会生活中，发挥着不可替代的作用，也是学习和研究现代科学技术必不可少的基本工具。当今社会的各个方面无不涉及数学知识或数学思想，而数学建模突破了传统的数学教育范式，让学生发现问题、解决问题，是很好的数学学习模式。在中学阶段推广数学建模大有裨益。数学建模的思想对学生学以致用、知行合一非常有用。单纯地靠数学题目来训练学生的解题技巧，会让学生对学习数学的必要性产生迷茫。学生通过亲自动手用数学方法解决实际问题，在提升学习数学的乐趣的同时，更能领悟到这些数学方法之间的联系、体会数学是如何揭示自然界的深刻规律，进而形成用数学的眼光观察世界、理解世界甚至改造世界的能力和愿望。

将数学建模融入中学数学教学当中，需要一线教师潜心研究，力争把数学和数学教育的本质准确地传递给我们的学生。数学建模不应该游离于数学的课程标准之外，而应该反映在数学的日常教学当中。数学建模案例的选取应当源自于真实的问题，同时又能很好地与课程标准结合起来，用适切的数学解决必要的问题。

朱浩楠老师的这本书体例新颖，材料丰富，有很多创新性，适合高年级高中生和低年级本科生使用。在很多经典材料的组织上，这本书独辟蹊径，用构建的方式讲出了各理论建立的必要性；在实际问题的解决上，这本书采用抽丝剥茧的方式，引导读者一步步完成数学建模的各步骤，符合读者的认知过程；不仅如此，这本书在正文中设置了很多的思考练习，帮助读者加深理解，也便于教师教学使用，值得推荐。
——林群2019 年 11 月 19 日于中国科学院数学与系统科学研究所

《面向建模的数学》图书推荐 ——八大特色、四种用法和一个声明