2021伊比利亚美洲数学奥林匹克 中文翻译

第一天

1.设 为个互不相同的素数组成的集合. 设表示其素因数分解式只含有中元素的所有大于的整数所组成的集合. 用如下方式对中的元素染色:
集合中的每个元素颜色互不相同;
若,则的颜色与或的相同;
对任意两个不同的颜色 和,不存在(不一定互异), 使得的颜色为, 的颜色为, 且整除, 整除.

求证: 存在素数, 使得所有中被整除的数颜色相同.

2.锐角中, , 其外接圆为, 点分别为中点. 外接圆与再次相交于点. 过作的切线与直线交于点. 线段上异于的一点满足. 过作平行线与交于点. 求证: 为中点.

3.正整数列与实数列满足, 对任意,均有

求证: 若数列满足, 每连续一百万项中,至少有一个正整数, 则一定存在整数, 使得.

第二天

4.实数 满足
求证: .

5.对有限整数集, 定义为其所有元素的和. 找出两个非空集合, 使得它们的交集为空集, 它们的并集为, 且为完全平方数.

6.对, 构造一个正边形,设表示其中个顶点所组成的的集合. 若, 求证: 一定存在两个全等的三角形, 它们的顶点都属于集合.

注:以下四个图分别为拉丁美洲,南美洲,伊比利亚美洲,西班牙语美洲.