初中数学-培优：关于中点的联想

关于中点的联想

【阅读与思考】

1.线段的中点把线段分成相等的两部分，图形中出现中点，可以引起我们丰富的联想:首先它和三角形的中线紧密联系；若中点是在直角三角形的斜边上，又可以引用“斜边上的中线等于斜边的一半”结论；其次，中点又与中位线息息相关；另外，中点还可以与中心对称相连.

2.解答中点问题的关键是恰当地添加辅助线，如作中线倍长、作直角三角形的斜边上的中线、构造三角形、梯形中位线、构造中心对称图形等，如图所示:

【例题与求解】

【解析】延长BP交AC于点E，首先证明△APB≌△APE，可得AB=AE=14，PE=PB，进而得到EC=12，再根据三角形中位线定理可以计算出PM=1/2EC=6.

【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，以及三角形中位线定理.

方法一：

方法二：

【解析】因为题目没有确定正方形EFGH的位置，所以我们可以将正方形EFGH的位置特殊化，使点H与点A重合，重新作出图形，这样有利于我们解题，过点M作MO⊥ED于O，则可得出OM是梯形FEDC的中位线，从而可求出ON、OM，然后在RT△MON中利用勾股定理可求出MN.

【点评】本题考查了梯形的中位线定理、正方形的性质及勾股定理的知识，属于综合性题目，对待这样既有动态因素又不确定位置的题目，一定要将位置特殊化，这样不影响结果且解题过程简单，同学们要学会在以后的解题中利用这种思想.

【解析】取AC的中点F，连接BF，根据中点的性质可得到AE=AF，再根据SAS判定△ABF≌△ACE，由全等三角形的对应边相等可得到BF=CE，再利用三角形中位线定理得到DC=2BF，即证得了DC=2CE.

【点评】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形中位线定理的综合运用.

【解析】(1)连接AD、BC，利用SAS可判定△APD≌△CPB，从而得到AD=BC，因为EF、FG、GH、EH分别是△ABC、△ABD、△BCD、△ACD的中位线，则可以得到EF=FG=GH=EH，根据四边都相等的四边形是菱形，可推出四边形EFGH是菱形；

(2)成立，可以根据四边都相等的四边形是菱形判定；

(3)先将图形补充完整，再通过角之间的关系得到∠EHG=90°，已证四边形EFGH是菱形，则四边形EFGH是正方形.

【点评】此题主要考查了菱形的判定，正方形的判定，全等三角形的判定等知识点的综合运用及推理论证能力.

方法一：

方法二：

【点评】本题考查了线段垂直平分线的判断，四点共圆的判断与运用.关键是根据题意构造四点共圆的条件.本题具有一定的综合性.

【A级能力训练】

【解析】由AG⊥BD，AF⊥CE，BD、CE分别是∠ABC和∠ACB的角平分线推出即△ABG和△ACF都是等腰三角形.根据三角形中位线定理可得FG=2DE=6，即可解题.

【点评】此题涉及到的知识点较多，有全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形中位线定理的应用等，对于初二的学生来说，是一道难题.

【解析】连接MN，根据中位线定理，可得出MN=DE=5cm；图中阴影部分的面积就是图中三个三角形的面积，由图可知，这三个三角形的底相等都是5cm，这三个三角形的高之和是从A点到BC的垂线段的长，利用勾股定理可求得高的值，据此可求出图中阴影部分的面积.

【点评】本题主要考查了中位线定理、等腰三角形的性质等知识，综合性较强.

【点评】本题考查了正方形的概念性质和判定，考查了中点四边形，各图形性质及之间的相互联系，对角线之间的关系.

【解析】画草图分析，作辅助线，将求梯形的面积转化为求等腰直角三角形的面积，利用中位线及等腰梯形的性质可求出结果.

【解析】取AB的中点G，连接EG,根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EG//AD，EG=1/2AD，GF//BC，GF=1/2BC，再根据过一点有且只有一条直线与已知直线平行可得点G、E、F三点共线，然后求解即可.

【点评】本题考查了梯形的中位线，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半的性质，作辅助线，熟记三角形中位线定理是解题的关键，要注意说明点G、E、F三点共线.

【解析】首先根据梯形中位线定理可求得梯形ABCD的中位线为:(18+32)/2=25，由题意可得梯形ABCD的中位线也是梯形EFHG的中位线，据此求解.

【点评】此题主要考查梯形中位线定理:梯形中位线等于上底和下底和的一半，根据已知得出梯形ABCD的中位线也是梯形EFHG的中位线，是解题的关键.

【点评】 此题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，三角形的外角性质，以及平行线的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解本题的关键.

【解析】根据中位线定理证明MH=NH，进而证明∠HMN=∠HNM，∠HMN=∠PQA，所以△APQ为等腰三角形，即AP=AQ.

【点评】考查中位线定理在三角形中的应用，考查平行线对角相等，考查等腰三角形的判定.

【解析】(1)本题主要利用重合的性质来证明；(2)首先要连接MB、MD，然后证明△FBM≌△MDH，从而求出两角相等，且有一角为90°；(3)根据(2)的证明过程中△FBM≌△MDH仍然成立即可证明.

【点评】本题综合考查了等腰三角形的判定，偏难，学生要综合运用学过的几何知识来证明.

【B级能力训练】

【点评】 本题考查了正方形的性质，三角形的中位线的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键.

【点评】 此题要能够巧妙构造三角形的中位线，综合运用三角形的中位线定理、平行线的性质以及等腰三角形的判定.

【解析】分别过点D、A、E作直线BC的垂线，交BC于F、G、H，得到AG是梯形DFHE的中位线，根据图形的中位线定理、三角形的面积公式计算即可.

【点评】本题考查的是三角形的面积的计算、梯形中位线定理的应用，掌握三角形的面积公式是解题的关键.

【点评】本题考查了三角形的中位线定理，三角形的三边关系，添加恰当辅助线构造中位线是本题的关键.

【点评】此题主要考查学生对三角形面积的计算，解答此题的关键是分别连接OB、OA、OD、OC，利用三角同底同高的性质求证几个三角形面积相等，此题有一定难度，属于难题.

【解析】取AP、BP的中点，并连接EM、DM、FN、DN，根据直角三角形斜边中线性质易证得△DEM≌△FDN，即可得各角的关系即可证得结论.

【点评】本题考查了全等三角形的判定及性质，涉及到直角三角形、等腰三角形的性质等知识点，是一道难度较大的综合题型，正确作出辅助线是解题的关键.

【点评】 此题考查了勾股定理的逆定理、线段的垂直平分线、三角形全等的判定，作辅助线是关键.

【点评】此题比较复杂，(1)主要是利用线段垂直平分线的性质；在解(2)时要作出辅助线，构造出平行其性质求解四边形及直角三角形的中线是解答此题的关键.

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线、等腰直角三角形、三角形中位线定理、旋转的性质，此题综合性较强，适用于基础较好的学生.

【解析】(1)①根据平行线的性质证得∠MBP=∠ECP再根据BP=CP，∠BPM=∠CPE即可得到；②由△BPM≌△CPE，得到PM=PE则PM=1/2ME，而在Rt△MNE中，PN=1/2ME，即可得到PM=PN.

(2)证明方法与②相同.

(3)四边形MBCN是矩形，则PM=PN成立.

【点评】本题考查旋转的性质.旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变.