【初三数学方法技巧专题】二次函数与图形变换

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保护好视力哦~

今天小名老师又要继续开播啦!

今天给大家分享的是

二次函数的几种变换

说到变换,大家第一时间肯定想到了平移

其实数学里的变化有三种哦

平移变换

对称变换

旋转变换

这三种变化是考试中的常客

不仅二次函数中常考

三角形、四边形中也常考哦

快跟小名老师学起来吧!

二次函数图象的平移变换

例1 (1)将抛物线y=2x2向左平移2个单位,再向下平移3个单位,求新得到的抛物线解析式.

(2)将抛物线y=-x2+4x+1向右平移1个单位,再向下平移4个单位,求平移后的解析式.

【拓展变式1】将二次函数y=x2-2x向下平移若干个单位后经过点(-1,-1),求平移后的解析式.

【拓展变式2】二次函数y=x2+2x-3向右平移m个单位后经过点(3,0),求m的值.

视频讲解

方法归纳:二次函数图象经过平移变换不会改变图形的形状和开口方向,因此a值不变.顶点位置将会随着整个图象的平移而变化,因此只要按照点的移动规律,求出新的顶点坐标即可确定其解析式.

二次函数图象的对称变换

例2 将抛物线y=2(x+1)2+1的图象关于y轴对称,求对称后的抛物线解析式.

视频讲解

变式

已知一条抛物线的图象与抛物线y=2(x-3)2+1的图象关于x轴对称,求这条抛物线的解析式.

答案

方法归纳:二次函数的图象关于x轴对称或关于y轴对称是关于谁对称谁不变.如:二次函数y=a(x-h)2+k.
(1)关于x轴对称x不变,y变成相反数,得-y=a(x-h)2+k,化简得y=-a(x-h)2-k.

(2)关于y轴对称y不变,x变成相反数,得y=a(-x-h)2+k,化简得y=a(x+h)2+k.

二次函数图象的旋转变换

题型1  绕着二次函数的顶点旋转

例3  将抛物线y=2(x-2)2+7绕着顶点旋转180°之后的函数解析式为                 .

分析:抛物线y=2(x-2)2+7绕着顶点旋转180°,抛物线的顶点坐标不变,且不会改变二次函数的图象形状,开口方向相反,因此a值会为原来的相反数,故二次函数的解析式变为y=-2(x-2)2+7.

方法归纳二次函数 y=a(x-h)2+k绕着顶点旋转180°的解析式为y=-a(x-h)2+k.

题型2 绕着坐标系的原点旋转

例4 将抛物线y=x2+4x+3绕原点旋转180°,求旋转后的抛物线解析式.

视频讲解

方法归纳主要是指二次函数的图象以原点为旋转中心,旋转角为180°的图象变换,此类旋转,不会改变二次函数的图象形状,开口方向相反,因此a值会为原来的相反数,只需要根据旋转的性质求出旋转之后的顶点坐标,即可确定其解析式。

好记性不如烂笔头

快快整理到笔记本上吧

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题目已经给你们准备好啦

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专题小练

1.在平面直角坐标系中,把抛物线y=2x2绕原点旋转180°,再向右平移1个单位,向下平移2个单位,所得的抛物线的函数表达式为(  )
A.y=2(x﹣1)2﹣2
B.y=2(x+1)2﹣2
C.y=﹣2(x﹣1)2﹣2
D.y=﹣2(x+1)2﹣2
2.把抛物线y=3(x+1)2先向左平移1个单位,再向上平移n个单位后,得抛物线y=3x2+12x+14,则n的值是(  )
A.﹣2             B.2
C.8                D.14
3.把二次函数y=﹣(x+1)2﹣3的图象沿着x轴翻折后,得到的二次函数有(  )
A.最大值y=3B.最大值y=﹣3C.最小值y=3D.最小值y=﹣3
4.将抛物线y=﹣x2+4x+m向上平移2个单位后所得抛物线经过点(1,0),则m=     .
5.将抛物线y=2x2+4绕原点O旋转180°,则旋转后的抛物线的解析式为     .
6.函数yx2﹣(m﹣1)x+1的图象的对称轴为直线x=1.
(1)求m的值;
(2)将函数yx2﹣(m﹣1)x+1的图象向右平移2个单位,得到新的函数图象G
①直接写出函数图象G的表达式;
②设直线y=﹣2x+2ttm)与x轴交于点A,与y轴交于点B,当线段AB与图象G只有一个公共点时,直接写出t的取值范围.

除了基本的变换之外

通常在二次函数的大题中

也经常会有变换的新图形

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