漫谈三角形的面积公式

漫谈三角形的面积公式

湖北襄阳    彭鹏飞

中学阶段我们研究几何图形无外乎研究图形的边长、角度、面积及与之相关的数量、位置关系等，其中作为最简单的多边形——三角形的研究自然成了学习的基础，亦是学习的重点。事实上，三角形是学生最早认识的几何图形之一，而三角形的面积公式是学生最早掌握的数学公式之一。今天就谈谈三角形的面积问题。

虽然三角形是最为简单的多边形，但我们得出三角形的面积公式却是先定义了矩形的面积得来的。矩形作为特殊的四边形，其临边互相垂直，矩形的面积定义为两临边的乘积，而矩形沿着其一条对角线，可以看做是两个全等的直角三角形拼接而成，故而我们有了直角三角形的面积公式

进一步，一般的三角形可以通过一边上的高，把一个一般的三角形的面积变成两个直角三角形的面积的和或差，如图：

由此，三角形面积公式

①

具有了一般性。

在这个公式的基础上，我们考虑到三角形的角，根据三角函数的定义h=AC▪sin∠ACB，进一步得到三角形面积的另一个一般公式

②

这个公式在已知两边及一角的情况下十分便捷。

基于公式②，我们还可以很容易得出其他很好的结论。

诸如，平行四边形面积可以通过两对角线及其夹角得到

再如，根据公式②，我们还可以很容易推导出正弦定理

如果考虑到三角形的外接圆，上述正弦定理比值的结果事实上等于外接圆的直径，其证明不在此赘述。

这样就得到一个非常好的结果，进一步可以帮助我们推导出三角形面积的另一个公式

③

当然，也可以纯粹从角的角度出发，得到其变形式

④

此外，与三角形面积相关的还有著名的海伦——秦久韶公式

⑤

这个公式亦可根据公式①外加勾股定理推得。

事实上基于上述推导及思路，三角形面积公式还有很多变形式，在此不作赘述，有兴趣的同学可以自己尝试推导证明。