【新题速递】2020-2021学年九年级温州期末数学卷第18题详解

2021

2020—2021学年温州九上期末数学卷第18题

原题呈现

（2020温州九上期末卷T18）图1是某游乐园的海盗船，A，B两位同学坐在海盗船上的示意图如图2，开始状态下OA＝OB，且A，B离地高度相等，水平距离AB为5米．当B同学摆动到最低位置B'时，他的高度下降了0.5米，A同学也随之旋转至A'的位置，此时，B同学离顶端O的距离OB'为______米，A同学的高度上升了______米．

思路分析

本题是2020温州卷九上期末的填空压轴题，形式上看也是继承了温州卷的PISA试题的特色，素材来源于生活，这类问题近几年非常流行。

粗读题目，老师们应该会觉得这个题目难度不大，甚至花费不了多少时间就可以解决，但是笔者把该题给了几个学生做，但是大部分学生（由于生源问题，笔者学生水平大约是中等偏上）只能做出第一问，第二问几乎做不出来，连如何添加辅助线都不知道，这很值得深思。

针对第一问，题目中要求的是OB'的距离，因为图形的变化是由旋转造成的，那就会导致要求的OB'，本质上就是在已知弦长AB=5，拱高B'C=0.5（记OB'与AB交于点C）的基础上求⊙O的半径，那自然能够联想到垂径定理。那么图形即可简化如下：

设半径OB=OB'=r，在Rt△OCB中，则有OC2＋BC2=OB2即

，解得r=

，第一问即可解决。相对来说，中等学生对垂径定理能够熟练掌握的这一问并不会太过于困难。

对于第二问，要求A点上升的高度，也即是求A与A'两点的之间的竖直高度，学生较为容易想到的是作如下的辅助线：

这样构造辅助线是非常符合学生的逻辑的，只要能够解出△AA'D，那上升高度A'D便显而易见，而在这个三角形中相对易求的则是线段A'A（实际上，能够求出AA'的学生水平已相当不错）其余的元素便无从入手了，这便导致了学生解不出此问。

事实上，在这个问题中，笔者认为，学生忽略的图形是如何变化的，也忽略了去思考变化过程中的不变量。

整个图形的结构实际上就是一个等腰三角形绕顶点旋转而形成的，故图形可以化简如下：

图形结构非常简单，如此观察也清晰明了，在旋转过程中△OAB≌△OA'B'，即对应的线段长度与角度均不会发生变化（这一点非常重要）。

其次，笔者认为学生不会去思考三角形的边角关系（即内角的三角函数值）是这一问题无法解决第二个重要原因。其实，在第一问求出OB'这个半径长度时，我们就应该关注△OCB的三边之比（或∠B的三角函数值），这样会有利于确定三角形的形状大小，便于进一步分析问题。因为OB=

，BC=

，则cosB=

=cosB'（则△OCB三边比为5，12，13是常见直角三角形）。

在△OA'B'中，已知∠B'的三角函数值，要求A上升的距离，则易过点A'作OB'的垂线这条辅助线。

从而问题就可以转化为在Rt△A'EB'中，已知A'B'=5，cosB'=

，求B'E的长度。口算即可求得B'E=

，则A点上升的高度为B'E－BC'=

解后反思

第一，对于几何问题，尤其是平时考试中的压轴题，画图能力尤为重要，平时教学过程中应当引导学生画图，并且是简化后的图形，这样可以帮助学生精准分析条件，解决问题。

第二，学生的思考往往只停留在问题本身，而我们平时应当培养学生关注图形元素的习惯，一如本题中，求解出长度后不能仅仅停留在长度本身，而更应该整体感知，把握图形（尤其是三角形）的性质与特征。简单点的说就是去关注三角形的边长与角度（三角函数）。

第三，对于动态的问题，要抓住问题中的不变量，以静态的视角去观察动态图形，这样方可制胜。

详细解答