圆锥曲线专题解析1：阿基米德三角形
圆锥曲线专题解析1：阿基米德三角形
Ø 方法导读
高考压轴题中,解析几何问题以其几何条件类型多,代数运算变量多,使其成为命题的热点.如用常规方法运算量大,尤其在面对小题时,通法就更是让人望而却步.但是对于特殊背景下的解析几何题目,我们可以通过判断图形的特征来用相应的性质去处理.比如阿基米德三角形.这期专题我们针对抛物线的阿基米德三角形问题来探究相关性质,并谈论如何针对性解决.
Ø 高考真题
【2018全国III卷理16题】已知点
和抛物线
:
,过
的焦点且斜率为
的直线与
交于
,
两点,若
,则
___________.
Ø 解题策略
【过程分析】
该题可以按照常规的方法联立直线和抛物线的方程,利用韦达定理来求解,过程如下:
设直线方程为
,
,
联立
,得
,
由
可得
,故
.
【深入探究】
在两个小时的限定时间里去按照这样的方法完成这样一道题目对于考生来说是一种浪费.下面我们引入一个概念,可以很快速的解决这一类问题,高效准确.
该题的命题背景为阿基米德三角形,抛物线阿基米德三角形定义如下:抛物线的弦与抛物线的弦的端点处的两条切线所围成的三角形被称为阿基米德三角形.下面我们对阿基米德三角形的一些性质进行探究:
Ø解题过程
解答：设抛物线
的焦点为
,设过焦点
的直线方程为
,接下来我会通过一些证明去表现出一些性质.
设直线与抛物线的交点分别为
,
联立可得
,
∴
,
.
过抛物线上的两点
,
分别作切线,则切线方程分别为
,
.
为了便于大家更好的记住这个公式,这里引入隐函数求导知识点(高中数学不作要求)
对于函数
进行求导可得,
,∴
,∴
,
,然后点斜式求得切线方程即可.
继续上述的分析,设两个切线的交点坐标为
,
则有
,
.
它的性质我们总结如下:
(1)
点的坐标为
;
(2)
所在直线方程为
;
(3)三角形
的面积为
;
(4)
;
特殊地,当
过抛物线的焦点
时,则
(5)
;
(6)
;
(7)三角形
的面积的最小值为
.
Ø 解题分析
因为直线
过抛物线
的焦点
,在阿基米德
中,由性质(6)可知
为直角三角形,且
,从而在
中,
可得:
,
,∴
.
Ø 拓展推广
第一步:根据条件判断给定的三角形是否满足过抛物线上任意两点
,
作两条切线交于点
.如果满足该特征,则判断
为阿基米德三角形,即可用性质来解题.
第二步:若弦
,
过焦点
,我们称
为阿基米德焦点三角形.若满足则可利用性质(5)(6)(7)来解决相应问题.
第三步:性质(4)可以类比到椭圆.
椭圆光学性质推论:椭圆
的两个焦点为
,过椭圆
外一点
作该椭圆的两条切线,切点为
,
,则
平分
,
平分
.
变式训练1
已知抛物线
:
与点
,过
的焦点且斜率为
的直线与
交于
两点,若
,则
__________.
变式训练2
若
为抛物线
的焦点,过点
的直线
与该抛物线交于
,
两点,
,
分别是该抛物线在
,
两点处的切线,
,
相交于点
,设
,
,则
__________.
变式训练3
已知点
为抛物线
:
的焦点,过点
的直线
与抛物线
相交于不同的两点
,
,抛物线
在
,
两点处的切线分别是
,
,且
,
相交于点
,则
的最小值为__________.
变式训练4
已知点
在抛物线
:
的准线上,过点
的直线与
在第一象限相切于点
,记抛物线
的焦点为
,则直线
的斜率为__________.
变式训练5
如图,抛物线
:
,
:
点
在抛物线
上,过点
作
的两条切线,切点分别为
,
(
为原点
时,点
,
与点O重合).当
时,切线
的斜率为
.
(1)求
的值;
(2)当点
在
上运动时,求线段
的中点
的轨迹方程.
(点
,
重合于点
时,中点为O)
答案
变式训练1
由题可知,
是阿基米德三角形,则有
.
变式训练2
因为直线
过抛物线
的焦点
,在阿基米德
中,由性质可知
为直角三角形,且
,从而在
中,由射影定理,可知
,故得
.
变式训练3
设
,
,由题意可知
为阿基米德三角形,
则有
,
故
,
,
设
,
则
.
变式训练4
根据阿基米德三角形的性质可得
,其中
,
,则
,
∴
.
变式训练5
略
(1)因为抛物线
:
上任意一点
的切线的斜率为
,由已知切线
的斜率为
,
可得
点的坐标为
,故切线
的方程为
.
因为点
在切线
上,又在抛物线
:
上,
于是
,
而
,
求得
.
(2)设
,
,
,
.
由
为线段
中点知
①
②
由阿基米德性质(1),可得点
,由于点
在抛物线
:
上,故
③
由①,②,③得
,
当
时,
重合于原点
,
的中点
为
,坐标满足
,
因此线段
的中点
的轨迹方程为
,