（再续）积极思考、自我鉴别，培养和提高自身的数学思维能力

上次的推文《（续）积极思考、自我鉴别，培养和提高自身的数学思维能力》提到：

1.弦长变了三角形面积的最大值会随之改变吗；

2.三角形OAB面积为√3/2时，弦AB有什么特性。

今天我们就来讨论这两个问题。

1.弦长变了，三角形OAB的面积的最大值会随之改变吗？

通过实验我们不难发现当弦长在某个区间内变化时，三角形OAB面积的最大值是不变的都是√3/2，而弦长不在这个区间时，三角OAB面积也有最大值，但是最大值都小于√3/2。由此我们可得出另一个更一般的结论：

椭圆x^2/3+y^2=1上任意两点A、B和椭圆中心O组成的三角形的面积最大值为√3/2

2.三角形ＯＡＢ面积为√3/2（最大）时，弦ＡＢ所在的直线有什么特性？

通过实验我们可以大概的感觉到直线ＡＢ是和另一个椭圆相切。三角形ＯＡＢ面积为√3/2（最大）时，根据上次推文中给出的解答可以看到ｋ、ｍ需满足1+3k^2=2m^2,而直线方程和椭圆联立消去y后的二次方程的结构看，我们就可以猜测到与直线AB相切的椭圆可能是将原椭圆按比例缩小，即这个椭圆方程是x^2/3+y^2=t (0<t<1)。再将这个方程和直线AB：y=kx+m联立消去y，计算根的判别式得Δ=12[t(1+3k^2)-m^2]，相切Δ=0便可解的t=1/2。

以上讨论都是针对椭圆x^2/3+y^2=1进行的，我们还可以进一步推广：

这些猜想就留给同学们自己去研究论证。

这是一道关于椭圆的问题，能不能静下心来把它做好，做好之后思考，换成双曲线会怎么样？换成抛物线会怎么样？千万不要说“双曲线不考”。

当你去思考了，你的认识在加深，水平真正得到提高。

也就是常说的“一道题做透了，要远胜于100道题”。题目再变，你不再觉得可怕，你可以说“我都看透了”。