2021小学数学牛吃草问题经典例题及解题思路和方法
牛吃草问题是小学数学阶段重点、难点之一
牛吃草含义:“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿
问题”。这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。
基本公式，
(1)草的生长速度=对应的牛头数×吃的较多天数-相应的牛头数×吃的较少天数÷(吃的较多天数-吃的较少天数);
(2)原有草量=牛头数×吃的天数-草的生长速度×吃的天数;`
(3)吃的天数=原有草量÷(牛头数-草的生长速度);
(4)牛头数=原有草量÷吃的天数+草的生长速度。
这四个公式是解决牛顿问题的基础。由于牛在吃草的过程中，草是不断生长的，所以解决消长问题的重点是要想办法从变化中找到不变量。
例1: 一块草地，10头牛20天可以把草吃完，15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完？
解: 分析草是均匀生长的，所以，草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5天内的草总量要5天吃完的话，得有多少头牛？
设每头牛每天吃草量为按以下步骤解答：
（1）求草每天的生长量
因为，一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，
即（1×10×20）；
另一方面，20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，
所以1×10×20＝原有草量＋20天内生长量
同理1×15×10＝原有草量＋10天内生长量
由此可知（20——10）天内草的生长量为
1×10×20——1×15×10＝50
因此，草每天的生长量为50÷（20——10）＝5
（2）求原有草量
原有草量＝10天内总草量——10内生长量＝1×15×10——5×10 ＝100
（3）求5天内草总量
5天内草总量＝原有草量＋5天内生长量＝100＋5×5＝125
（4）求多少头牛5天吃完草
因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5。
因此5天吃完草需要牛的头数125÷5＝25（头）
答：需要5头牛5天可以把草吃完。
例2 : 一只船有一个漏洞，水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水。如果有12个人淘水，3小时可以淘完；如果只有5人淘水，要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完？
解:这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是，最后一问给出了人数（相当于“牛数”），求时间。设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：
（1）求每小时进水量
因为，3小时内的总水量＝1×12×3＝原有水量＋3小时进水量
10小时内的总水量＝1×5×10＝原有水量＋10小时进水量
所以（10——3）小时内的进水量为1×5×10——1×12×3＝14
因此，每小时的进水量为14÷（10——3）＝2
（2）求淘水前原有水量
原有水量＝1×12×3——3小时进水量＝36——2×3＝30
（3）求17人几小时淘完
17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2，所以实际上船中每小时减少的水量为（17——2），所以17人淘完水的时间是
30÷（17——2）＝2（小时）
答：17人2小时可以淘完水。
例3： 牧场上有一片青草，每天都生长得一样快。这片青草供给10头牛吃，可以吃22天，或者供给16头牛吃，可以吃10天，如果供给25头牛吃，可以吃几天？
分析：解“牛吃草问题”，牛每天吃草，草每天在不断均匀生长。解题环节主要有四步：
1、求出每天长草量；
2、求出牧场原有草量；
3、求出每天实际消耗原有草量( 牛吃的草量-- 生长的草量= 消耗原有草量)；
4、最后求出可吃天数
想：这片草地天天以同样的速度生长是分析问题的难点。把10头牛22天吃的总量与16头牛10天吃的总量相比较，得到的10×22-16×10=60，是60头牛一天吃的草，平均分到（22-10）天里，便知是5头牛一天吃的草，也就是每天新长出的草。求出了这个条件，把25头牛分成两部分来研究，用5头吃掉新长出的草，用20头吃掉原有的草，即可求出25头牛吃的天数。
解：新长出的草供几头牛吃1天：
（10×22-16×1O）÷(22-1O）
=（220-160）÷12
=60÷12
=5（头）
这片草供25头牛吃的天数：
（10-5）×22÷（25-5）
=5×22÷20
=5.5（天）
答：供25头牛可以吃5.5天。
例4： 一片草，每天匀速生长，可供8只羊吃20天、14只羊吃10天。现有羊若干，吃了4天后有增加了6只羊，这样又吃了2天，草便吃完了，问：羊有多少只？
解：设每只羊每天吃1份，
根据“8只羊吃20天，或供14只羊吃10天”
可以求出草每天生长的份数列式为：
（8×20-14×10）÷（20-10）=2（份）；
再根据：“8只羊吃20天
可以求出草地原有的草量：
（8-2）×20=120（份）；
设现有x只羊，（12+4）×2+120=152份，
（152-4x）÷（x+6）=12，
设每只羊每天吃草1份，
则草每天生长：
（8×20-14×10）÷（20-10）， =（160-140）÷10， =20÷10， =2（份）；
原有的草量：（8-2）×20=120（份）；
设现有x只羊，由题意可得：
（12+4）×2+120=152（份） （152-4x）÷（x+6）=12，
152-4x=12x+72 152-4x+4x-72=12x+72-72+4x
16x=80
16x÷16=80÷16
x=5
答：原有羊5只
例5：天气渐渐变冷，牧场上的草不仅不增长反而以固定的速度减少。已知牧场上有一片草地，草地上的草可供给20头牛吃5天，15头牛吃6天，照这样计算可供给多少头牛吃10天？
解：分析：设一头牛一天吃的草为1份。原有草量是固定的。在牛吃草的过程中，由于天气变冷，草每天都均匀的减少。草每天减少的量是固定的。
那么原有草量-5天草的减少的量=20头牛吃5天的草量=20×5=100份。
原有草量-6天草的减少量=15头牛吃6天的草量=15×6=90份。
那么（100-90）÷（6天草的减少量-5天草的减少的量）就是草每天的减少量。
每天草的减少量：（100-90）÷（6-5）=10份。
原有草量：20×5+10×5=150（份）或者15×6+10×6=150（份）
牧场10天实际消耗的原有草量：10×10=100（份）
10天可供多少头牛吃:（150-100）÷10=5（头）
答：可供给5头牛吃10天