Modal combination rules in response spectrum analysis: Early history

反应谱分析中的振型组合方法：早期理论发展历程

Anil K. Chopra

Earthquake Engineering & Structural Dynamics

First published: 15 September 2020

https://onlinelibrary.wiley.com/doi/full/10.1002/eqe.3333

概要

本文是地震工程和结构动力学中开创性概念的早期发展历程系列科普短文中的第十篇。它记录了反应谱分析结构中振型组合方法的起源（1951）和早期发展（至1981年）。

关键词

早期发展历程，地震分析，振型组合方法，反应谱分析

1 引言

振型组合方法现在是地震工程中的一个重要概念，它提供了一种方法来估计结构受到地面运动时的峰值反应，而不需要进行时程分析。地面振动由一个代表地面运动集合的平均反应谱(或其他分位)定义，或由一个设计谱定义。这种反应谱分析(RSA)过程已经很好地融入了地震工程的教育、研究和实践中，以致许多使用它的研究人员和工程师可能还不知道它的起源。这篇短文的目的是记录RSA中振型组合方法的起源和早期发展。为了方便参考，我们首先简要回顾一下线性系统的响应时程分析。

2 初步研究：模态分析

由相对于移动基座的节点位移矢量u描述的经典阻尼系统的响应由以下微分方程控制

其中有效地震力为

在方程1和2中，m、c和k是质量、阻尼和刚度矩阵，阶数为N，即自由度数（DOF）；是地面加速度，表示静态施加单位地面位移所引起的质量位移的影响向量。

有效地震力的空间分布，可以被展开为

其中是系统的固有振型，且

第n阶振型对s的贡献是

这与振型如何归一化无关。方程3可以看作在与固有振型相关的惯性力分布上的扩展。

任何响应量的第n阶振型贡献为

其中表示结构静力响应，即由于外部静力导致的r值。这一代数符号代表结构的属性和所选的响应量r。在方程6中

和是单自由度(SDF)系统第n阶模态的变形和伪加速度响应，由地面加速度激发。自振周期（自振频率）和阻尼比ζ是一个SDF系统的振动特性----在多自由度（MDF）系统中，则指的是第n阶模态。

将所有模态的响应贡献结合起来，就得到了总响应量。

3 振型组合方法

假设激励是一个平稳随机过程，我们引入响应的平均峰值。

和第n个模态响应的平均绝对峰值。

其中，即与周期和阻尼比相关的平均伪加速度反应谱或设计谱。的代数符号与相同。

因为激励是一个宽带高斯平稳随机过程，Der Kiureghian(1981)²使用了以下随机振动理论，以推导出响应过程的平均峰值的方程。

其中是模态响应和之间的交叉相关系数，峰值系数是过程的平均峰值响应与标准差的比值，峰值因子是第i阶模态响应的平均峰值与的标准差的比值(Davenport Vanmarcke 1976 and Der Kiureghian 1980 ) ^3-5。

下面进行简化近似计算。

对于所有模态，i=1，2，......N，方程11可简化为(DerKiureghian 1981)²

这个方程最早出现在Rosenblueth(1968)⁶和Elorduy(1969)⁷的论文中，但他们的推导方式不同。本文后面会有叙述。

结构的n阶自振频率之间间隔较大时，。方程13可以简化为

我们将方程13和14分别称作完全平方组合（CQC）和平方和开平方根（SRSS）组合方法。

对于宽带平稳激励，方程13和14中包含的振型组合方法可以推导出来。如果激励有一个长稳态的强运动阶段，结构的阻尼不是太小，其基本振动周期比激励的持续时间短几倍，则可适用于宽带瞬态输入，比如许多地震地面运动。

这些方法存在于结构动力学的教科书中；这些方法的推导过程也出现在研究生课程和书籍中。在概率结构动力学中，它们现已成为专业实践中的规范的一部分。本文将追溯这两种振型组合方法从1951年开始到1981年的演变过程。

我们还注意到，随机过程和随机振动的理论（Crandall 1958）⁸是方程11（1981）推导的核心。峰值系数的概念3-5也在推导中发挥了重要作用。

4 EMILIO ROSENBLUETH的博士论文（1951）

这些理论在1948年时还不存在，当时Emilio Rosenblueth（1926-1994）刚拿到本科毕业证。在墨西哥国立自治大学(UNAM)获得学位后，他来到伊利诺伊大学厄巴纳-香槟分校，在Nathan M. Newmark(1910-1981)的指导下开始了他的研究生学习。Rosenblueth 1949年获得硕士学位，1951年获得博士学位。他的博士论文题目是《A Basisismic Design of Aseisismic Structures》¹⁰。

从1949年开始，Newmark担任44层楼高的墨西哥城Latino Americano塔的抗震设计主要顾问。墨西哥城是世界上的地震高发区。在当时，对这样的高层建筑进行完整的动力时程分析是不切实际的。虽然有模态分析程序，但是算力匮乏才是当时最大的障碍。寻找一种可以在当时实现的替代方法是Rosenblueth的博士论文的动力。这篇论文中所提到的主要成果来自于Goodman，Rosenblueth和Newmark（1953）¹¹的论文中。他们的推导也比较容易理解。

Rosenblueth博士学位论文的出发点是Housner的地震动模型( 1947 )，即一系列脉冲在方向、幅度或时间上随机产生。Goodman, Rosenblueth 和 Newmark¹¹的论文中指出：

“作者认为运动由集中加速脉冲的随机阵列组成...．假设脉冲在时间上是随机分布的，要么是小的、均匀的间隔或者是随机间隔。”

这些假设相当于把地面加速度定义为一个带状白噪声随机过程。Rosenblueth将结构响应写成多个单个脉冲响应的叠加，使用单位脉冲响应函数；将 "响应的期望值 "表示为时间的函数；假设单位脉冲响应函数是周期性的，进行傅里叶展开，并利用MDF系统的正交特性，将MDF系统的响应函数做了周期性的处理。三角函数来推导出峰值响应的期望值的方程；最后用各振型的峰值响应来表示

这个方程（用不同的符号）出现在Rosenblueth的博士论文的第97页。随后，这个方程以不同的形式写在Goodman、Rosenblueth和Newmark¹¹的论文中。

其中下标 "d "表示响应的设计值。本文中有一个形象的说法：

“为抵御这些响应而设计的结构将具有均匀的强度，即结构的所有部分成功抵御地震的可能性相同。结构的不同部分不会相对设计过度或设计不足。”

我们将方程15和16叫做SRSS方法。

Rosenblueth的博士论文显然代表了概率方法在结构地震动力学中的首次应用。我们不知道他是如何提出并发展这些想法的。这是一个耐人寻味的问题，因为他在伊利诺伊州立大学没有选修过任何概率论课程，在他的导师Newmark注意到他之前，他也没有参加过任何涉及概率的项目，尽管他是结构工程领域最全能的研究人员。

Emilio Rosenblueth(1926–1994)

5 第一次应用于设计

SRSS方法为Newmark提供了1950年设计Latino Americana大厦时计算地震力所需的工具。在1993年8月3日写给我的信中，Rosenblueth说：

"如果我没有记错的话，1950年初在乌尔巴纳的一个寒冷的夜晚，圣灵降临在我身上，告诉我关于SRSS模态反应的组合，当时他并没有告诉任何其他人。这使我能够把闷热的夏天用于计算Latino Americana大厦的叠加响应(我在ILLIAC计算机[第一台全面使用大规模集成电路作为逻辑元件和存储器的计算机]出现之前的时代里计算过）。Nate[Newmark]是该大厦的顾问，因此SRSS能够第一次被应用于设计中。SRSS方法是在我1951年提交的博士论文中提出的。”

从那时起，众所周知，SRSS方法已被广泛用于估计结构抗震设计和评估。

6 ROSENBLUETH和ELORDUY 的工作（1969）⁷

显然，振型组合方法在1951年后没有得到进一步发展，直到Rosenblueth和Elorduy的论文于1969年问世；该作品的西班牙文版已经于一年前问世。随机振动理论当时已经被提出，但在这项工作中并没有正式使用；但是，概率这一概念出现在整个文章中。地面运动的特点是零均值、平稳的高斯随机过程。是时间的确定性函数，是白噪声的样本。就在方程8之前，他们的论文提出结构响应的均方值

其中为单位脉冲响应函数。随后得到方程

这个方程意味着预期峰值响应与随机过程的标准差成正比。那么调整模态阻尼，以使对无限持续时间的随机过程的响应接近对有限持续时间过程的期望值。最后，单位脉冲响应函数写为振型贡献的叠加，并代入前一个方程，从而得到带有模态相关系数（虽然这个术语没有被引入教科书）的公式13。模态相关系数由下式给出：

其中

s为白噪声的持续时间。方程19和20表明对于两个频率相等、阻尼比相等的模态，ρ＝ρ，ρ并有，ρ＝。虽然这个重要的结果在一些早期的研究中被提及(Kan和Chopra 1977¹⁴)，但它并没有对工程领域产生很大的影响，也许有两个原因。首先，的定义可能过于微妙。这一定义(在符号上作了适当的修改)出现在Newmark和Rosenblueth（1971）¹⁴的著作中：

当达到最大值的时候,所取符号为ψ[的单位脉冲响应函数]

因此，这一方法被一些人误用，包括《核管制指南》（1976）。除此之外，如何确定一个设计频谱已给定的地面振动持续时间s仍然是一个未决问题。虽然"相当的具有启发性"，正如作者所承认的那样，这个推导是巧妙的，这也表明Rosenblueth对这个问题的深刻洞察力。在后面的分析中，我们将方程19专门用于在所有模态中具有相同阻尼比和足够长的地震激励持续时间s的系统，用代替方程20b。我们将ζζζ代入到方程20a，引入βωω，将方程20a代入方程19，最终得到

7 基于随机振动的工作

7.1 Ruiz的工作¹⁶

Ruiz¹⁶将Rosenblueth ( 1968 )⁶中出现的方程13等效，引用Davenport ( 1964 )³的结果，即期望峰值响应与随机过程的标准差成正比，这一思想在Rosenblueth和Elorduy ( 1969 )⁶的论文中已有应用。将地震动建模为滤波白噪声，并给出了相关系数的分子和分母的双时间积分形式的自相关函数( Ruiz论文中的方程7 )。保留这个一般形式的话，相关系数的方程不容易使用，也无法得出专门针对白噪声的结果。Ruiz的工作似乎在很大程度上没有被注意到，或许是出于以下几个原因：它没有出现在广为阅读的期刊或大会的议论文集中，而选择的例子说明这种方法在对SRSS方法的改进很小的意义上并不是很有说服力。

对于地面运动的白噪声模型，自相关函数是Dirac delta函数，而方程7在Ruiz的论文中，可将其简化为一个单一的积分

其中将其代入Ruiz论文方程7下面的未编号方程中，可以得到一个更简单的相关系数方程

当上述积分在t=∞的情况下进行求值时，方程23可还原为Der Kiureghian (1980)⁵推导出的相关系数，稍后将以方程29的形式呈现。这并不奇怪，因为之前的两个推导--Ruiz和Der Kiureghian的--相关系数都假定使用KanaiTajimi滤波器过滤白噪声激励。Ruiz选择用随机过程的自相关函数来写他的推导，而Der Kiureghian则用功率谱密度来发展他的推导。

7.2 Vanmarcke的工作 (1972–1976)^4,17

Vanmarcke⁴的长篇章节出现在一本由C . Lomnitz和E . Rosenblueth主编的书，其中包括几个主要的主题，涵盖MDF系统的峰值响应。在推导宽带平稳随机过程所描述的激励的CQC方法之前，Vanmarcke推导了不受任何限制的响应过程的均方值的方程。这个结果以方程8.65的形式出现在Vanmarcke⁴的章节中。这个推导成立的前提是Vanmarcke ( 1972 )¹⁷推导的响应过程谱密度多阶矩的方程。基于上面提到的方程(8.65) ，他提出了振型组合方法，如方程 8.67b 所示，这里用不同的注记写成：

并且在式(8.64)中定义为"等效阻尼比 "并且具有时变属性（见式28）。对于t值较大的情况，这个函数简化为

我们可以注意到，方程25中的β没有出现在Vanmarcke⁴的方程中，因为他的RSA方程使用了变形反应谱，而这里采用的是伪加速反应谱。此外，；如果则β则有。在模态阻尼相等的情况下ζζζ，则方程26简化为：

方程24 - 26所包含的振型组合方法不限于宽带激励，例如白噪声或滤波白噪声通常也可以用来模拟地面运动。它主要目的是模拟大范围的地面运动，但所需的计算量或达到的计算精度当时并没有记录。

这种振型组合方法是对MDF系统对非平稳激励的随机振动进行全面研究的结果⁴。在的原始方程8.64中,

出现的不是ζ，其中s是地震动的持续时间。通过将26式中的ζ替换为ζ，24 - 26式的振型组合方法明确地考虑了地震动的持续时间。然而，如何确定与给定的平均反应谱对应的激励过程持续时间，这一问题仍然没有得到解决。

尽管Vanmarcke⁴的文章被许多研究者引用，但显然其中包含的振型组合方法并没有被广泛知晓。这可能是由于以下几个原因：第一，它没有出现在一本广为阅读的杂志上；第二，它可能曾经在一本51页的书的几个主题中不被注意到的位置；第三，最初的方程( 8.64 )看起来非常复杂，它以一种非常宏观的形式来考虑地震动，而没有考虑到平稳性、宽带或长时限的限制条件。

7.3 Singh 和 Chu的工作(1976)¹⁸

这几位作者通过将交叉振型项解析成部分分式，推导出响应过程的功率谱密度方程，就像Vanmarcke(1972)¹⁷的工作一样。随后推导出MDF系统受到地面运动的均方响应方程。该方程被描述为静止的随机过程，不对功率谱密度的形状做任何假设。这个结果被用来表达总响应的峰值，作为涉及模态响应峰值双项之和。然而，由于在地面运动的功率谱密度上没有引入任何假设（例如，白噪声或滤波白噪声），因此不可能简化结果。这种模态组合方法并没有广为人知，可能是因为结果的形式是非常笼统，并不精准。

7.4 Der Kiureghian'的工作 (1980–1981)^2,5

这项重点工作对问题进行了严格而清晰的阐述，明确详细地说明了所有的假设、近似和限制。他在1980年的论文中提出了相关系数的封闭解的推导，当激励被模拟为滤波白噪声时，其复杂性令人印象深刻。这个普遍性结果，专门考虑白噪声时，可以推出以下相关系数的方程。

对于等模态阻尼ζζζ，此方程简化为

这些相关系数的封闭方程克服了本文前面指出的以往研究的局限性。这些方程的简洁--来自于严格的分析--使其受到欢迎。CQC方法体现在方程13和29中，现在已经成为地震工程的标准规则。它出现在设计规范和指南中，并已被应用于地震结构分析的商业软件中。

7.5 比较

图1根据方程21、23和30给出了4个阻尼值ζ = 0.02、0.05、0.10和0.20时相关系数ρ与βωω $的函数。对方程21进行了数值计算，t设置足够大，使瞬态项很小。注意到方程23和30给出了完全一致的数值，这是对Ruiz ( 1970 ) ¹⁶的推导在理论上相当于Der Kiureghian ( 1980 ) ⁵的早期说法的数值证明。同时，需要注意的是，根据Rosenblueth和Elorduy ( 1969 ) ⁷的论文，方程19对于较小阻尼比给出了基本相同的数值，但对于较大阻尼比和模态频率分离较好的情况，这些差异通常不是结果，因为对于这种参数组合，方程13中的交叉项影响通常并不显著。

图1中4个阻尼值的相关系数ρ随模态频率比的变化：横坐标采用对数尺度，根据论文Rosenblueth和Elorduy⁷的方程21，Ruiz¹⁶的方程23，Der Kiureghian⁵方程30分别绘出

结论

到20世纪80年代初，反应谱分析中的振型组合方法得到了很好的发展和传播，它们已经成为地震工程的核心概念。至此，既然已经达到本系列论文关于普及地震工程和结构动力学中开创性课题的早期历史的目标，我们将结束对振型组合方法发展的简要历史介绍。

致谢

Charles Menun的建议在编写这份手稿时受到了重视。他不仅对本文较早的稿件进行了回顾，而且对主要参考文献进行了研究。随后我与他进行讨论，并且对初稿进行了重大改进。Armen Der- Kiureghian、Erik Vanmarcke和Roberto Villaverde对初稿的评论和建议，也使该课题的早期历史叙述更加准确和完整。

参考文献

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黄嘉旭

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相关研究

资料翻译：反应谱分析中的振型组合方法：早期理论发展历程