这很物理：时间的形状、广义相对论中的时间测量

本文将以比较严谨地方式为您讲述广义相对论中间的测量问题，接下来的讲述比较烧脑，不喜的小伙伴可以绕行。

一、时间的形状？

很多物理问题都能归结为几何问题，比如牛顿万有引力，其实是通过行星运动的轨迹与地面物体圆周运动轨迹比较分析得到的。广义相对论同样如此，只是其中考虑的除了空间的几何形状之外，还有时间的几何形状。

时间有形状吗？这个还是真有。我们回忆经典力学中所有时间测量的方法，都可以归结为对某种等周期性运动物体的轨迹测量，时间对应的是周期性运动物体在空间中的几何位置，这就是牛顿力学中时间的几何形状。

在广义相对论中，由于光速在真空中不变，物体的周期性运动轨迹也会受到运动速度的影响，所以实际观测到的周期性运动物体的轨迹就与牛顿力学中的轨迹不同，自然时间的形状也就不同。

讨论时间的形状，就是在讨论在广义相对论中的客观测量的问题。测量也是物理与数学和哲学的最大区别，这一点，我在很多的科普文章中反复强调，甚至曾经说过：“不能测量的物理学就是耍流氓”。

二、广义相对论中的坐标钟与标准钟

既然时间的测量是一个几何问题，那么我们就可以如同在经典力学中用三维坐标系绘制一个周期性运动的轨迹那样，在四维时空中绘制出一个周期性运动的轨迹，这就需要我们建立一个四维（三维空间+一维时间）坐标系。

很抱歉，公式打不出来，只能在PS里弄好发图片来描述了，后面的图也都是这么弄的。

与经典力学中的真实时钟类似，在狭义相对论中，事实上的真实时钟同样是一个在惯性系中做等周期运动的物体所记录的时间，我们把这个时间称为这个惯性系的固有时间，即静止于这个参照系中观察者所亲身经历的时间。我们可以把这个时间用下图中的表达式表示。

从公式中我们可以看出，这个时间与观察者的世界线长度成正比。由于s与τ（相对论中的时间t习惯用字母τ来标记）都是标量，所以世界线长度s和固有时间τ都不依赖于坐标系的选择，换句话说，就是它们在坐标变换下不变。

在广义相对论中，根据等效原理，可对时空中任意观察者A引入相对于他瞬间静止的局部惯性系B并仿照狭义相对论，定义静止在B中的“真实时钟”为标准钟，它所记录的时间为惯性系B的固有时间。

设LA为任意观察者A的世界线，当A在P点时，相对于他瞬间静止的局部惯性系的世界线为LB，LA、LB在P点相切。从狭义相对论可以得到，惯性系B的固有时间为下图中的公式。

从微分几何中我们可以知道，在一点的邻域，曲线LA的线元dsA与其切线的线元dsB相等（物理学中的线元不是数学中的抽象的无穷小量，可以是世界线的在P点的邻域区间），所以我们可以定义观测者A，观测者A可以不是惯性观测者，其固有时间正比于A的世界线长度，可以用下图的公式表达。

因此，对于弯曲时空中的任意观察者来说，其时钟的读数都与自己的世界线长度成正比。该时钟就是它的标准钟，这个钟所记录的时间就是其固有时间。并且，在其世界线上的任意一点的固有时间都与该点的瞬间静止局部惯性系的固有时间相等。

从上面的分析我们可以得到这样的结论：“随着观察者A一起运动的钟和A的瞬间静止局部惯性系的钟都可以作为A的标准钟来记录他的固有时间。但前者只是一个单一的钟，可以连续 记录A的固有时间，而后者可以有无穷多个钟组成，每一个只在一个时空点的邻域，记录A在那一瞬间的固有时间。”

三、坐标时间与固有时间的关系

在黎曼空间中，可以用二次型如下图中的公式来定义空间中相邻两点间的距离ds(即线元）。这里的距离是一个标量（不变量），与坐标系的选择无关。

从图中的公式中我们可以得到，对于某个静止的观察者，他的坐标时间与固有时间之间的关系，可以用下图中的式子来表达。

从公式我们可以看出，在非笛卡尔坐标系中，同一时空中点的固有时间一般不等于坐标时间。

四、坐标时间与固有时间的物理意义

第一、坐标时间是虚构的时间，仅在计算中有用，具有理论意义，但无法直接测量。标准时间才是真实时间，有测量意义的是标准钟所记录的固有时间不是坐标时间。但固有时间仅有局部意义，在大范围的时空中，有意义的是坐标时间。

第二，任何做周期性运动的物体都可以作为标准钟。标准钟可以在弯曲时空中沿着任何类时世界线运动，并通过自身的读数把世界线参数化，它所记录的固有时间就是它的世界线长度。

五、坐标时间和固有时间对GPS的影响

从前面的介绍我们知道，任何一个观察者所持有的钟的读数正比于自己的世界线的长度，在地球表面的物体与在轨道上GPS导航卫星的世界线是不同的，所以它们都有各自的坐标钟。这也就意味着，如果要想让GPS能够准确地确定地球上某一点的位置，就必须对时钟进行相对论修正。

在设置GPS上的时钟时，要同时考虑到广义相对论和狭义相对论的影响。这两种相对论的效应会部分叠加，但不会完全抵消。根据广义相对论，一束在一个重力场中向下下落的光的频率会变高；而一束上升的光的频率则会变低。

卫星时钟显示的时间会通过原子的振荡频率描述出来。由于在20000公里的高度上的重力只有在地球上的大约四分之一，因此人们在地面上会接收到一个更高的频率：重力越小，也就是说距离地球越远，时钟走得就会越快。在GPS卫星上，时间会缩短大约一千亿分之五十三。这样，一个卫星时钟每年就要少走大约千分之十七秒。

由于狭义相对论，这个数值会变小一些。因为没有任何物体的运动速度能超过光速，所以在运动的坐标系中的时间就会走得慢一些。当一束光从一个运动的发射装置中发射出去并被一个静止的接收器接收到时，这束光的频率就会变低。时间膨胀会让以每秒大约4公里的速度围绕地球飞速旋转的卫星上的时钟走得慢一些。具体来说，这些时钟会变慢大约一千亿分之八，也就是每年大约变慢千分之三秒。

为了校正相对论造成的影响，GPS卫星上的时钟必须变慢大约一千亿分之四十五。经过相对论比较，只要把这个数值设置为1022.9999995326赫兹。如果没有这个校准过程，在每秒钟的长度测定中就会出现480米的误差。

当美国人在1978年2月22日把他们的第一颗GPS卫星送入卫星运行轨道时，卫星上的那些原子钟没有考虑相对论效应的影响。这样造成的后果是，这些极其精确的时钟走得这样的不准，以至于在一天之内就出现了超过11公里的错误。

好在这些美国人采取了相应的预防措施，并在问题出现之后激活了修正系统。这样，在所有后来的卫星中，就都考虑到了下面的事实：在大约20000公里的高度上和14000 km/h的速度下，时钟会与地球上的时钟走得不一致。

结束语

本文用比较严谨的方式介绍了广义相对论中的标准时间和固有时间的概念，并以GPS为例，对这两种时间在具体的应用中需要修正和调整的过程进行了介绍。我们看到，不论是广义相对论还是狭义相对论，都经受住了实际应用的考验，是一种很精确的物理理论。