构造三角形解较复杂动点最值题目

本文是一篇关于构造三角形利用三点共线解决动点最值问题的分析文章，下篇我们开始分析利用轴对称变换解决动点最值问题.

典型例题1：(难度★★★★)

如图1所示,F,E分别是正方形ABCD的边CD、DA上两个动点(不与C、D、A重

合),满足DF=AE.直线BE、AF相交于点G,则有BE=AF,BE⊥AF;如图2 所示,F、E

分别是正方形ABCD的边CD、DA延长线上的两个动点(不与D,A重合),依然有BE=

AF、BE⊥AF;

若在上述的图1 与图 2 中,正方形 ABCD 的边长为 4,随着动点 F、E 的移动,线段DG的长也随之变化.在变化过程中,线段DG的长是否存在最大值或最小值? 若存在,求出这个最大值或最小值,若不存在,请说明理由.(要求:分别就图1、图2直接写出结论,再选择其中一个图形说明理由).

【思路分析】

本题我们根据正方形的特征，取AB的中点H，构造出△HDG.本例题用到三角形三边关系、直角三角形斜边上的中线、勾股定理、正方形的性质等多个知识点,为如何求一条线段最短提供了-个新的思路一一建立三角形,利用两边之和大于第三边的性质,再次强调三点共线时线段取最值。

【答案解析】

说明1：这类型题目比较复杂的题目是如何求三条、四条线段和的最小值。其解题基本思路不变，利用对称等性质，进行线段的等量转换，连接定点最后的对称点，当几条线段共线时，线段之和最小。如下图例题。

说明2：对于组合图形中的一个图形在旋转的运动过程中出现求最值问题，解题思路是：在旋转的过程中出现两个全等三角形，进行等量转换再利用三角形三角关系、三点共线等知识取最值。如下图例题。