从“数学画”到“数学化”——《豆豆在哪儿》教学实录与评析

（非常感谢黄山市黄山区教研室数学教研员齐胜利老师对“数学画”教学的指导和鼓励！）

【课前思考】

一年级的孩子刚入学不久，懵懵懂懂会数几个数，但数学意识与数学认知仅仅停留在生活层面上，怎样发展学生的数感，促进数学意识的觉醒，需要结合他们的年龄与心理特点，找到恰当的切入点。

儿童天生就是画家，他们生来就喜欢涂涂、画画，那些看似随意的涂鸦，不仅仅是他们对周围世界的儿童表征，更是他们认知发展过程中最为重要的“脚手架”。正是基于这样的认识，试图借助“数学画”手段，帮助低年级儿童学习数学，发展数感，有效地解决现阶段儿童抽象思维能力不足的问题。帮助学生找到数学学习过程中“数学化”的落脚点。

【教学实录】

教学内容：根据苏教版数学一年级下册配套《练习与测试》P19第5题改编。

教学目标：

1、学生通过画“数学画”，帮助理清思路，解决问题（数形结合）；

2、通过课堂展示、交流和评价，学生在“说自己思路”、“赏他人思路”过程中汲取、反思、提升思维品质，学会运用学过的数学知识解决问题，逐渐学会简洁、有序地思考问题；

3、尊重学生思维的个性和多样性，培养学生独立思考及合作交流能力，培养学生创造精神、数学眼光。

教学重点：利用形象直观的数学画帮助分析解决数学问题，展示学生思维的多样化，培养学生语言表达力和交流能力，提升学生数学思维品质。

教学难点：学生思维的开发与提升。

教学准备：实物展台，自制ppt课件，磁钉若干。每生作业纸3张，图画笔1盒。

教学过程：

一、谈话引入，揭示课题

师：咱们第一次见面，认识我吗？我来自安徽省合肥市，姓陈（指PPT上文字），你们可以叫我……？

生：陈老师！

师：谢谢！陈老师也想认识你们，怎么样？谁来自我介绍？

生1：我是天长小学一（6）班的张**，我七岁了，我最爱吃冰淇淋、面条、棒棒糖，我最喜欢看书、画画、写书法。

师：看来你的爱好还挺多的！今天来了这么多老师，心情怎样？

生1：心情很好！

师：老师心情也很好。这位小帅哥，请。

生2：大家好！我是天长小学一（6）班的曹**，我喜欢唱歌、跳舞、画画，还有写毛笔字，我最喜欢吃棒棒糖、冰淇淋和面条。

师：你也喜欢冰淇淋？看来大家有共同爱好。陈老师想尽快认识大家，这样吧，你们课桌上有三张作业纸，请在每张纸的角落里写上你的大名，我走过去一看，就知道你是谁啦！动作快的都是班里最热情的，想早点跟我交朋友呢！……我喜欢你们认真书写的态度……刚才你们面前的只是普通的白纸，你的名字一旦落款，它就不再普通了，将成为你的作品。

师：豆豆和你们一样也是一年级学生，他非常喜欢玩儿，正和几个小朋友玩游戏呢！不过玩着玩着就玩出数学问题来了——（板书：豆豆在哪儿？）

【评析】：一年级的孩子，年龄小、认知能力弱，再加上陌生老师上课，课前交流就变得非常重要，即可以拉近与学生之间的距离，更可以从中了解一些学情，如哪些孩子语言表达强一些，哪些孩子思维灵活一些……，虽然，了解到的学情只是大概情况，但也为教师后续开展教学提供了有力的支撑。

二、围绕问题，组织探究

（一）基础问题

15个小朋友排成一行唱歌，从左往右数，豆豆是第7个；从右往左数，豆豆是第(   )个 。

1．说一说

1）师：会读吗？请个代表读一读。

生1读题。

师：读懂这个问题了吗？你读到了什么？

生2：我读到了：从右往左数，豆豆是第7个。

师：那是从左往右数，咱再来一遍好吗？看清了再读。

生2：从左往右数，豆豆是第7个。

师：还读到了什么？

生3：从右往左数，豆豆是第几个？

师：这是问题，还有吗？

生4：有15个小朋友排成一行唱歌。

2）师：对于这个问题你想怎么解决呢？用什么方法解决？互相说一说。

生1：我是用减法，从15里减。

师：他的方法是算一算。

生2：拿一张草稿纸，用图形来表示人，再数一数。

师：也就是说，你想借助画图帮助自己。还有吗？

生3：分解15.

师：用数的组成来想。你呢？

生4：还有用加法想。

师：我知道了，也是算。你们各自有不同的方法，有的说画一画可能会帮助我，有的说算一算，有的说我用数的组成想一想。

2.试一试

师：接下来就用你的方法解决这个问题，可以完成你的第一幅作品哦！（学生用自己的方法尝试解决问题，师巡辅，了解情况，选取典型作品）

【评析】：考虑到一年级孩子理解能力上的差异，出示问题后并没有马上让学生独立去思考，而是组织学生开展一系列的读题－说题－想题活动，目的是帮助和引导所有学生都能进入到思考序列之中。这不仅符合一年级学生的认知特点，更尊重了不同学生的学习差异。

3．议一议

师：小眼睛看这里！这儿有几件作品我们来看一看。

图1

1）出示第一幅，师：张同学，说说你是怎么找到豆豆的？

张：我是用分解的。

师：噢？（指图画）那这些是什么呢?

张：这是画了15个小人，然后标数字，再找出哪一个是豆豆。

师：你能上来边指边说吗？

张（上台）:刚才题目也说了，豆豆是从左往右第7个（指第一行中豆豆）。从右往左豆豆是第8个（指第二行中豆豆）。

师：噢？其他同学有意见吗？找一位同学。（张指生1）

生1：我的意见是，豆豆也算一个人啊，也占一个位置，所以他是9。

师：也就是从右往左数，豆豆排在……？

生1：第9个！

师：有两个不同答案啦！同学们，你们看着这幅画，有什么意见吗？

生2：她可能1、2、3、4、5、6、7，豆豆已经算是7号了，然后左边她就没再算豆豆了。

师：能清楚地看出豆豆是右起第几个吗？怎么看出来的？

生3（上台边指边数）：（右起）1、2、3、4、5、6、7、8、9，豆豆在从右往左数第9个。

图2

2）出示第二幅，师：金同学，你能说说你是怎么想怎么画的吗？

金（上台边指边说）：我是这样想的，题目告诉我是第7个，然后继续往下，到15个的时候再返回来数，写上1、2、3、4、5、6、7、8、9，就知道他是第9个。

图3

3）对比出示两幅作品，师：我们比较一下两幅作品，有什么想说的？

生4：张**的太复杂了，金**的特别简单，就画个圆，一笔就画成，特别快！

生5：我觉得张**为什么要画两个（行）呢？金**在下面画数字比较好，而且用两个（行）做记号，确实挺不错的！

生6：我觉得不一定要用人来表示豆豆，可以用简单图形来表示豆豆。

师：这样用图形表示豆豆有什么好处呢？请重复一遍，我要记下来，我觉得你说的这个挺重要的。（板书：简洁）

生6：不一定要用人表示，可以用那些简单的图形；豆豆可以换个图形，或者给他涂黑。

师：她说的你们听明白了吗？赞同吗？

生：赞同！

师：不一定要画小人呀，画个圆圈能代表人吗？除了圆圈，还有的同学用别的图形吗？

生7：用五角星！

生8：三角形。

……

师：刚才的同学说了，用这样的图形有什么好处？

生：简单，画起来也方便。

图4

4）出示第三幅，对比第二、三幅作品，师：同样是图形表示，许**的作品与金**的比较一下，你又有什么想说的？

生1：许**的有点没对齐，有点看不清楚。

师：有点看不清？那上面那幅就清楚了吗？什么在起作用？不同在哪里呢？

生2：许**的三角形没画好，也没对齐。

师：看来许同学以后要画规范、工整一些。

生3：许**的没标数字，金**的标了数字。

师：标数字有什么好处？

生4：可以让人看得更清楚。

师：哎！更清楚！我觉得这也是一个关键词，要不要记下来？我还看到有的同学还标了箭头等其他符号，都可以让人看得更清楚。（板书：清楚)

图5

5）出示第四幅，与第二幅对比，师：还有一幅作品，先看一看。这是用算的方法，刚才的都是用画图。请张同学介绍一下！

张：我是这样想的，15-7=8，刚才看那幅图，有个15，还有个7，那就是15-7=8。

师：也就是说，你在列算式的时候头脑里也是有图画的？哦，那你告诉大家，这15是什么意思呢？

张：15是有15个人。

师：7是什么呢？

张：……

师：谁还记得那个问题，帮帮她！

生1：豆豆排在从左往右数第7个。

师：15-7算的是什么？

张：15-7=8算的是另一部分的人。

师：这里有画儿，你能上来指一指吗？

（张上台指出8是豆豆右边的8个人）

师：你能回答问题吗？豆豆排在从右往左数第几个？

张：第8个。

师：这是你算的。再看着图，从右往左数豆豆排在哪儿？

张（看图）：第……9个！

师：为什么又第9个了？你刚才不是说第8个吗？

张：因为他从右往左数是第9个。

师：谁还想说一说？

生2（上台指着说）：那（8）是豆豆后边的人，豆豆在第9个。

师：借助图画能更清楚看出豆豆在第9个。这是两种不同的方法，它们有没有关系？

生3：一个是用算的方法，一个是用画的方法。

生4：画的方法更清楚更简单。如果在做题时只用算的方法，就会得到8，就错了，就只能得良好啦！

师：那是不是算的方法一点道理都没有？我们可不可以再加道算式？

生5：15-7+1=9

师：是呀！我们只要再把豆豆加上就可以得到优秀啦！

图6

6）出示第五幅，师：看来呀，画一画、算一算都可以解决这样的问题，还可以把它们结合起来！请郭同学说一说自己的想法！

郭：7是（左起）第7个是豆豆，看图知道豆豆在（右起）第9个，它们加起来，因为豆豆算了两次，所以还要减1，就是一共有15人。

师：画法可以不一样，算法也可以不一样。

【评析】：

真正的学习源于内驱力的唤醒，点燃儿童学习的热情，引领儿童思维有序发展是课堂教学的核心。为此，课堂紧扣“因学施教”，在学生充分思考基础上，借助5幅学生的作品，引导学生由“数学画”走向“数学化”。选择的学生作品看似随意，实则是经过精心设计的，是根据学生学习需求的两条明暗线选择的。

明线——作品的有序简化。学生的“数学画”由具象表达走向图式呈现，由第一幅模拟人的图案到几何图形表征，再到算式表征，现象中非数学本质属性在淡化，数学本质属性在逐步增强。

暗线——“数学化”的进程。不论是学生作品展示的顺序，还是学生认识的发展进程，都能看出“横向数学化”动态过程，这条“数学化”的暗线紧扣数学本质，有效帮助学生实现了数学学习起源于生活，又高于生活的学习目标，引领儿童由具象认知走向抽象的思考。

（二）变式问题

师：你们真了不起，借助数学画轻松愉快地解决了豆豆在哪儿的问题，故事到这儿似乎该结束了？猜对了，故事并没有结束，怎么回事呢？原来，豆豆是个聪明又调皮的小男孩，瞧！他又玩起了新花样，又给我们出了个问题——

出示问题2： 15个小朋友排成一排，豆豆排在阳阳左边，他们之间隔了5个人，阳阳排在右起第6个，豆豆排在左起第（  ）。

1.画一画

师：会读吗？

生1读题。

师：这个问题与刚才的相比怎么样？

生2：这个问题比刚才的问题稍微要难一点。

生3：难度翻倍了。

生4：我觉得难度翻了30倍！

师：那你准备怎么解决它？

生5：画图。

生6：写算式。

师：光写算式吗？也可以。那能不能画一画再算一算呢？那我们就开始创作我们的第二幅作品了，在画一画、算一算中努力找到答案！

（生创作师巡辅）

2．说一说

师：小眼睛再次回到我们的讲台，请放下作品，有的是半成品，以后的创作空间更大，有的已经完成了。不管是哪种情况，请你坐端正，我们来看一看——

图7

1）出示作品1，师：请应**同学介绍一下！

应（上台边指边说）：我是这样想的，总数是15，所以先填（写）15；这个5呢，是豆豆和阳阳之间的……

师适时添画（图中橘红字）。

应：4是阳阳后面的4个。

师：题目说阳阳在右起第6个，我们来数一数（添画）。

应：哦！错了！

师：没关系，可以进行二次创作。

图8

2）出示作品2，师：掌声有请叶**同学！

叶：首先，从这个圆（指左边第一个）到这个圆（指右边第一个）一共是15个。

师添画。

叶：然后，因为阳阳是从这边（指右边）到这里（指阳阳三角形）第6个，所以这里（指从阳阳到右边最后一个）一共是6个。豆豆和阳阳之间有5个。然后，假设豆豆在这里，这边的（指左边第一个到豆豆）还不知道。那么，5+6=11,然后总数是15，15减去这里的11个（指从豆豆到右边最后一个），就是豆豆这里的位置第4个。

师：有没有问题？都听明白啦？那陈老师有问题，我明明看你这里（指从阳阳到右边最后）画了4个（三角形、2个点、圆），怎么是6个呢？

叶：中间我省略掉了。

师：哦！这样有什么好处 ?会不会被别人误解成4个呢？

叶：因为这是省略掉了，还有标了6。

3）自主展示作品3，师：哪位同学也成功找到答案了？请你上来！

图9

傅：先画15个圆，阳阳在右起第6个，（从右边数起）1、2、3、4、5、6，这是阳阳（涂色）。然后，豆豆在阳阳左边，他们之间隔了5个，（指阳阳）往左数，1、2、3、4、5，后边一个涂上另一种颜色（是豆豆）。然后，在这边（从左边数起）1、2、3、4，（豆豆）在第4。

【评析】：

变式练习，一方面可以检验学生是否真正掌握了图示语言表达数学问题的方法，另一方面还可以了解到学生使用图示表征的水平。从作品2不难看出，学生已不满足于一个一个画图示表达事物，而是采用了更为简练的数形结合的方式，这即可以直观地表征位置，更直观呈现了事物之间的数量关系。从中可以看出学生在画“数学画”过程中实现了“数学化”思考，思维也得到了真正意义的发展。

三、归纳小结，建立模型

师：画着画着，算着算着，一节课快结束了，回想一下这节课我们是怎么解决问题的？

生1：我们这节课是通过画图和写算式来找到豆豆在哪儿的。

师：今天的图，跟美术课上的图一样吗？

生：不一样！

师：今天我们画的是“数学画”。（板书：数学画）这是陈老师给这样的画起的名字，你知道为什么叫它们“数学画”吗？

生2：因为是跟数学有关的，是数学里面的知识，不是美术里面的知识。

师：嗯，是用数学知识解决数学问题的。还有想说的吗？

生3：美术里的图需要画小人，数学画不一样，就直接画圆圈，或者方形和其他等等简单的图形，比如说，正方形、三角形……

师：也就是更简洁、简单。

生3：还有更清楚！

生4：美术课是为了把它画得很好看，而数学课是要把它给计算出来。

师：数学画里有数字是吧？有了数字，就能看得更清楚、更有序。（板书：有序）这就是数学画的特点，那你们喜欢这样去解决问题吗？请最后一位同学说一说为什么喜欢？

生5：因为图形画的会更简单。

师：嗯，更简单。我来请你的好朋友帮你说完整，好吗？

生6：我也觉得很简单，我还觉得很有趣。

师：以后遇到问题，我们也可以这样先画一画再算一算。

【评析】：

比较“数学画”与“美术画”的异同，表面上是引导学生发现“数学画”自身独有的特点，实质上是帮助学生建立数学图示语言表征数学问题的认知方式，促进学生在回忆、比较中思维得到升华。

四、课外延伸，拓展思维

师:到这儿，豆豆的故事终于要告一段落了，但问题似乎还没有结束：（出示）27个小朋友排成一排，豆豆站在正中间。从左往右数，豆豆排在第（  ）；从右往左数，豆豆排在第（  ）。

这是陈老师留给大家课后解决的问题。好，下课！

生1：老师，27没法平分啊！

师：想一想总有办法，带着这个问题，回家画一画也许会有发现。

【评析】：

教学的延伸不仅是学习本身的需要，更是学生思维发展的需要。课后的拓展练习，即有利于帮助学生巩固课堂所学知识，更有利于学生对图示语言深入理解与发展。学生在“画”数学的过程中逐步实现“数学化”，数学思维也因此而得到发展。

附：板书设计：

图10

【教学评析】

小学阶段儿童数学学习处在水平数学化的发展阶段，这阶段的儿童数学学习需要现实表象的支撑才可以实现，解决具象现实与抽象数学之间的矛盾，一直小学数学教学永恒的主题。陈老师的“数学画”创意给我们提供了一个很好的思考视角。

1.借“画”促“思”

随手涂画是儿童的天性，怎样把儿童的心理需求运用到数学学习中去呢？陈老师创造性地把“数学”与“画”结合起来，构建了“数学画”课堂，引导学生在“画”中思考，在“画”中发现，在“画”中提升。

从教学中不难发现，学生在“画”的过程中实现了思维逐步提升。课始的随意“画”，“画”更接近具象的事物，且缺失相对统一的表征方式，更多体现了个体的直观视角，符合儿童的眼光；课中展示的画作，呈现出了“画”的不同水平，通过交流，“画”中具象成份越来越少，符号意识越来越强；课尾的“画”不仅简洁，而且数学味足，学生数学思考流淌在一幅一幅的画作之中。

2.因“画”得“法”

儿童的“画”更多体现了个体对现实的反映，因而，当陈老师让孩子们画出“豆豆在哪儿”时，他们的着眼点在具体人物上，需要解决的数学问题只是在描画具体情境中得出结论。

如果仅仅让学生停留在随意“画”之上，数学课就没必要让学生“画”了，数学课的“画”落脚点在数学上，为此，陈老师引导学生通过展示、交流、比较、分析，逐步让学生越画越简单，越画越规整，越画数学味越多。不仅“画”出“豆豆在哪儿”，更“画”出了数学画的方法，解决数学问题的思路。

3.由“画”到“化”

数学课上的“画”不是目的，是学习数学的一根拐杖、一座桥梁、一条路径，因而，陈老师课堂上，明线是让学生学会如何用“画”的方式表征数学问题，暗线是引导学生思维凭借“画”达到“数学化”的目的。

根据儿童“水平数学化”思维特征，教师要为儿童数学思维发展搭建好具象与抽象之间的桥梁，而数学画即不是具体的现实生活，也不是抽象数学符号，是介于具体与抽象之间的思维工具，儿童借助这样的工具认识数学、学习数学、理解数学，就会变得更容易，更简单，数学学习中的“数学化”才能得到真正的落实。