逆应用瓜豆原理，解决加权线段和最值问题
昨天在九章群刘老师发了一道题，题目是求加权线段和的最小值。（就是前面带系数的线段和）
初看这道题比较特别，似乎不是常见的系数转化，之前有搞过，胡不归，加权费马点，阿氏圆，这些都是比较常见的加权线段和问题。
（点击查看：几何动点，路径最短问题（线段（和）最短）策略）
而且经过软件验证，B在O的时候最小，感觉题出的很一般啊，BC最小的时候就是最小，说明任意时刻BC的增加变化速度比AB减小速度快。用什么方法，当然可以设未知数拉，设OB为x,结合勾股，则这个加权线段和会变成一个式子，求此式子的最小值即可。
我比较懒就不打字了，以下是刘老师的方法，这个式子是一个根式和的形式。根式和求最小值在初中可以数形结合转化为两定一动型线段和最短。
几何方法，一半是把带系数的转化为不带系数的线段，我开始也没想到，是于特提出的，找到点D（-1，-根3）这样即可得BD就是BC的一半，也就完成了转化，就是求BD+BA的最小值，（就是两定一动型）
很多方法可以证明，角BDC为直角，比如如下图，旋转相似
如下图三垂直相似模型：
B
非常完美的方法，于特的讲解蜻蜓点水。我确恍然大悟一点，这不就是瓜豆原理的逆应用吗？不清楚瓜豆原理点击下方：
（点击查看：捆绑旋转和瓜豆原理以及旋转放缩（手拉手）相似的关联）
总结一下瓜豆的结论，瓜豆原理也可以叫“定点，定角，定长比原理”
已知定点（我起名叫瓜蒂），和主动点，可以推知主从动点轨迹相似（常见就两种轨迹，线段（直线）和圆，也有个别的函数轨迹）注意瓜豆原理之中也是有定长比的。所以可以用来转换线段比。
主从动点轨迹相似，从运动的角度看。主从动点的运动时间是相同的，所以轨迹比（即路程比）就是速度比，就等于两个动点到瓜蒂的距离比（定比）。而且还有结论，如果是直线，主从动点的轨迹直线所成角等于主从之间的角度（可区分顺逆时针）。也等于“定角”
回过来看着题，B和C就是两个动点，轨迹为直角，而且速度比固定（1：根3）。所以这两点是到某个定点的距离比为定值（1：根3），夹角为定角（90度），只需找到定点即可补完瓜豆原理模型。这个定点也好找，因为是时时刻刻成立的。只要从一个特殊时刻（位置找就好了），比如选B在原点时候，找一个点到B到C的距离比为1：根3.且夹角为90度。易得这个点的位置，这就是刚才的点D，的来历。
需要注意的是“瓜豆原理”之中，不仅主从两个动点到定点之间的距离比不变，这两个距离和两动点之间的距离比也是定值。比如本题中的不仅DB，DC的比为，定值，他们与BC 的比也为定值，因为动态过程中三角形BDC的形状不变（相似），（所以也叫放缩旋转）。本题正是利用了这一点把BC/2转化为BD。
正向瓜豆一般也是以一个定型的三角形为掩护。
最后的结论是，
1，两动点以固定的速度比运动，运动轨迹为直线（线段），并且当线的夹角为定角，则可以找到一定点，使得三点组成的三角形在运动过程中形状不变（即个边比不变，即放缩旋转）且定点为顶点的角的度数就是那个定角的度数，两动点速度比等于两动点分别到定点的距离比，
2，若果轨迹是圆，那么速度比等于圆的半径之比（周长比），圆心与两动点为定角，定点为顶点的角的度数就是那个定角的度数。（这个可能……少见）
真正理解一道题的原理的标志就是能改编它，接下来试着改编一下（我就不画图了），这里的点A没什么关键的作用，可以改成任意一个点。可以改编速度比，比如改成OC=根2BO+4（这个4也可以随意改个数），这样的话点D到B和C的距离比就是1；根2，运动方向不变还是垂直，易得D做标，问题中的BC前的系数需要变为1/根3,。
再比如运动方向也可以变（最好是特殊角），比如变为60度，B，C速度比变为1:2，BC前的系数改为1/根3，