【解题研究】（2021陕西26）中点·面积·二次函数·最值 / 四六文摘

（2）某市进行河滩治理，优化美化人居生态环境．如图2所示，现规划在河畔的一处滩地上规划一个五边形河畔公园ABCDE．按设计要求，要在五边形河畔公园ABCDE内挖一个四边形人工湖OPMN，使点O、P、M、N分别在边BC、CD、AE、AB上，且满足BO＝2AN＝2CP，AM＝OC．已知五边形ABCDE中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，AB＝800m，BC＝1200m，CD＝600m，AE＝900m．为满足人工湖周边各功能场所及绿化用地需要，想让人工湖面积尽可能小．请问，是否存在符合设计要求的面积最小的四边形人工湖OPMN？若存在，求四边形OPMN面积的最小值及这时点N到点A的距离；若不存在，请说明理由．

试题简析

（1）本问常规的面积问题，主要利用“和差法”求面积

过点A作AH⊥CD交CD的延长线于H，点E作EG⊥CH于G，利用特殊角可求出AH＝AD·sin∠BAD＝6×sin45°＝3 ，同理EG ，∴S_四边形_ABFE＝S_□_ABCD﹣S_△_DEF﹣S_△_BFC＝8× 3×3 ；

（2）本问涉及：和差法、割补法表示面积，以及利用二次函数求最值

分别延长AE与CD，交于点K，则四边形ABCK是矩形，设AN＝x米，则PC＝x米，BO＝2x米，BN＝（800﹣x）米，AM＝OC＝（1200﹣2x）米，MK＝2x米，PK＝（800﹣x）米，S_四边形_OPMN＝S_矩形_ABCK﹣S_△_AMN﹣S_△_BON﹣S_△_OCP﹣S_△_PKM＝800×1200 x（1200﹣2x） ·2x（800﹣x） x（1200﹣2x） ·2x（800﹣x）＝4（x﹣350）²+470000，∴当x＝350时，S_四边形_OPMN_最小＝470000（平方米），AM＝1200﹣2x＝1200﹣2×350＝500＜900，CP＝x＝350＜600，∴符合设计要求的四边形OPMN面积的最小值为470000平方米，此时，点N到点A的距离为350米．

解题要领：

1.解题时如遇特殊角常通过作垂线，构造直角三角形，把特殊角放在直角三角形中，利用三角函数处理，这样才能显示特殊角的作用；

2.与面积相关的问题主要方法有：和差法、割补法等，同时注意高与底的转化求解．

3.二次函数的实际应用：主要应用于面积的最值问题，利润的最值问题．解题时：

①求出二次函数的解析式和自变量的取值范围；

②配方变形（一提二配三整理），或利用公式求它的最大值或最小值；

③检查求得的最大值或最小值对应的的自变量的值必须在自变量的取值范围内.

【解题研究】（2021陕西26）中点·面积·二次函数·最值

试题简析

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