混沌算法的研究
混沌是决定论非线性系统中既普通存在又极其复杂的现象,它沟通了有序与无序,确定与随机之间的联系,是人类认识世界的新飞跃,也是改造世界的一种新科技。目前开发和驾驭混沌的种种独特性质以应用于一些挑战性的工程技术问题已呈现了令人兴奋的前景。由于混沌态是一种始终限于有限区域而且轨道永不重复、性态复杂的运动,有着独特的过程。从某种意义说,混沌应是一门关于过程的科学不是一门关于状态的科学,是一门关于演化的科学不是一门关于存在的科学,因此用计算机对混沌进行仿真,是促进混沌研究迅速发展不可缺少的重要的基本方法。因此，本文设计了一个混沌电路并运用MATLAB软件对该电路实现了仿真。
混沌理论是近几十年才发展起来的活跃的前沿领域，是非线性科学的一个重要分支，与量子物理和相对论一起被称为二十世纪三项重要科学发现。是有序决定的无序从而类似随机的现象。
从科学上和工程上来说，对它的研究都具有重大意义。科学上，因为采用电子电路容易实现各类非线性动力学体系，而且电子测量比其它物理量的测量更为方便，采用示波器可以直接获得被测量数据的图形；用计算机处理数据，可以计算出各类非线性动力学参数，因此电子混沌电路的研究在非线性动力学系统的混沌研究中占有重要的地位。工程上，通过对混沌电路理论的分析，可以使我们对混沌电路达到全面的把握和理性的认识，从而有助于推动当今国际上热门的混沌通信（混沌调制技术和混沌保密通信）、信号加密、物件防伪、科学试验等应用研究。
混沌现象是自然界和人类社会系统普遍存在却不易研究的现象，只是由于当今非线性科学的发展和计算机的提高，使得混沌研究变得可能，并形成初步理论，进而开始探索它的实际应用价值。混沌由于其对初始值的敏感依赖性和宽频类噪的特性而被引入到加密系统中。自1990年美国海军实验室首次用电子线路实现混沌同步以来，利用混沌实现秘密通信，已成为近年来竞争最为激烈的混沌应用的研究领域。世界各国科学家都参与了激烈的竞争，各自加紧研究新的混沌系统，发展保密通信技术。
然而，混沌电路的性能如何，是否适合自己的工程课题，这都需要我们对现有的混沌电路系统做出更深入的理论分析。首先，一个最根本的问题必须给出明确的答案，就是系统是否的确混沌，这就要求我们对一个混沌电路，证明其混沌的存在性；然后，系统的随机性如何，这也是混沌电路应用前必须明确的一个问题，我们需要计算Lyapunov指数来衡量混沌电路产生的信号的随机性；第三个重要性能指标是混沌电路的结构稳定性，即系统在外界的干扰下使电路参数改变，混沌性是否会被轻易破坏，这就需要对混沌电路参数的分岔现象进行研究。
1.2 混沌的发展现状
混沌是非线性动力学系统所特有的一种运动形式，它广泛地存在于自然界，诸如物理、化学、生物学、地质学，以及技术科学、社会科学等各种科学领域。混沌现象揭示了在确定性和随机性存在着彼此相通的桥梁，这在科学观念上有着深远的意义。作为由确定性系统产生，有着极其丰富动态特性的一种动力学行为。混沌虽然在近年来迅速成为国内外的研究热点之一，但他从被人们认识、接受、研究到工程应用经历了一个漫长的过程。
混沌控制问题是由美国马里兰大学的Ott，Grebogi和Yorker于1990年首次提出，其控制方法后来被称为OGY法。同年，Oitto等人利用该法首次在一个由磁滞弹性条构成的力学系统中实现了对混沌轨道的不稳定周期轨道的稳定控制，从此拉开了混沌控制研究的序幕。十多年来，国际上有关混沌控制的理论、方法及实验方面的研究发展迅猛，在众多领域中，如电子学、光学、化学、生物学及医学的应用研究己近取得了一批令人瞩目的成就，充分显示了其巨大的应用潜力。
在自然界及实验室里，非线性系统多种多样，混沌行为千奇百怪，因而相应的混沌控制及其应用也是多姿多彩的。目前，人们对于混沌的研究还集中于时间混沌、空间混沌、时间与空间混沌这三种类型上。虽然，目前混沌控制的方法及其应用的研究发展很快，但大多数还集中在对时间混沌的控制及应用领域。
1.3 研究混沌的意义
随着计算机和各种通信网络的日益普及，保密通信己经成为计算机通信、网络、微电子等有关学科的研究热点。70年代后期，建立在保密学基础上的现代化保密通信技术进入实用阶段，其标志是DEs汀heDataEncryPtionStandard)标准的制定和广泛应用。
在信息时代，对信息保密的要求越来越高。Intemet网作为普遍使用的信息传输媒介，尽管它具有一般性的保密功能，但其保密性远远不能满足现代通信的需要。在Internet网上通信，信息失密现象时有发生，由此造成的经济损失难以估计。现代保密通信是随着军事、外交及商业需要发展起来的一种通信方法，在现代通信领域有着重一百多年来，在有线(金属线缆)和无线通信中，曾发生过相当多的因泄密、窃听、破译而失密的事件，给一些国家在军事、经济上造成重大的损失，甚至导致了战争的失败和人员上的重大伤亡，后果是非常严重的。随着保密通信系统的应用，情况有所改善，但还没有杜绝计算机和网络的非法闯入者。专门有一些人为了达到窃取重要信息的目的，借助高速计算机和先进技术，试图破解现有的保密通信系统。可见，研究和发展更安全的保密通信系统将是一个长期和艰巨的任务。
1987年Fujisaka和Yhmata对混沌同步的研究和1990年Pecora和Carroll对混沌同步的实验研究引起了人们的广泛重视，这一突破性的进展，使混沌理论应用于通信成为可能，开创了混沌同步在保密通信中应用的新阶段。这是一种动态方法，由于其处理速度和密钥长度无关，因此这种方法的计算效率很高。用这种方法加密的信息是将信息信号调制到近乎完全随机的混沌信号中，只有在接收机被调制到与发射机指定电路参数相同或很小一个范围内时，两者相互同步，信息才能被还原出来，与其现有的加密方法相比，混沌保密通信具有很高的保密度，尤其是它可用于实时信号处理，同时也适用于静态加密的场合。尽管目前这项新技术的研究尚处于实验室阶段，由于它的实时性强、保密性高、运算速度快等明显优势，己显示出其在保密通信领域中的强大生命力和应用前景，是一个具有极高研究价值的方向，成为当前该通信领域的前沿研究热点之一。
混沌是非线性确定系统中由于内察随机性而产生的外在复杂表现，是一种貌似随机的伪随机运动。它的基本特征之一是系统对初始条件的极端敏感性，即初始条件的微小差异会随时间的演化呈指数增长，最终不可接受。其长期行为表现出明显的随机，不可控制和不可预测。人们对混沌现象的研究起始于70年代。被誉为“混沌之父”的美国科学家Lorenz曾经给出过一个通俗的定义:一个真实的物理系统，在排除了所有的随机性影响以后，仍有貌似随机的表现，那么这个系统就是混沌的。Lorenz这个定义说出了混沌的如下基本特征:(l)混沌是系统固有的特性。系统所表现出来的复杂性是系统自身的，内在的因素造成的，并不是在外界的干扰下所产生的，是系统内在随机性的表现。(2)混沌是具有确定性的。混沌的确定性分为两个方面:首先，混沌系统是确定的系统，是一个真实的物理系统;其次，混沌的表现是貌似随机，而并不是真正的随机，系统的每一时刻状态都受到前一状态的影响，是确定出现的，而不是像随机系统那样随意出现，混沌系统的状态是可以完全重现的，这和随机系统不同。(3)混沌系统的表现具有复杂性。混沌系统的表现是貌似随机的，它不是周期运动，也不是准周期运动，具有良好的自相关性和低频宽带的特点。
混沌一词由李天岩(LI T Y)和约克(Yorke J A)于1975年首次提出。1975年他们在“周期3意味着混沌”的文章中给出了Li-Yorke定理，从定理出发形成了混沌的专门的定义:
Li-Yorke定理:
设f(x)是〔a，b]上的连续自映射，若f(x)有3周期点，则对任何正整数n，f(x)有n周期点。
Li-Yorke混沌定义:闭区间I上的连续自映射f(x)，如果满足下列条件，便可确定它有混沌现象:
(l)f(x)的周期点的周期无上界:
(2)闭区间I上存在不可数子集S，满足
(i)对任意x，y属于S，当x不等于y时，有
（ii）对任意x，y属于S，有
（iii）对任意x属于S和任一周期点y，有
根据上述的定理与定义，对闭区间I上的连续函数f(x)，如果存在一个周期为3的周期点，就一定存在任何正整数的周期点，即一定出现混沌现象。用李天岩的话来说，只要有周期1就“乱七八糟”什么周期都有可能。
这个定义是针对一个集合提出的，但它表现了混沌运动的重要特征:第一，存在所有阶的周期轨道;第二，存在一个不可数集合，此集合只含有混沌轨道，且任意两个轨道既不趋向远离也不趋向接近，而是两种状态交替出现，同时任一轨道不趋于任一轨道，即此集合不存在渐近周期轨道;第三，混沌轨道具有高度的不稳定性。
1983年，蔡少棠教授首次提出了著名的蔡氏电路，它是迄今为止在非线性电路中产生复杂动力学行为的最有效而简单的混沌振荡电路之一。通过对蔡氏电路参数的改变，可产生从倍周期分岔、单涡卷、周期3到双涡卷等十分丰富的混沌现象，从而使人们能从电路的角度较为方便的对混沌机理与特性进行研究。开创了我国在混沌学的研究。1986年，中国第一届混沌会议在桂林召开，为我国广泛开展混沌科学的研究起了促进作用。同年，中国学者徐京华在世界上第一个提出了三种神经细胞的复合网络，并证明了其中混沌的存在。
到了90年代，混沌理论与其它科学广泛渗透，它包括哲学、数学、物理、化学、电子技术、信息科学、天文学、气象学、经济学、乃至音乐、艺术等领域。特别值得强调的是，在我国1991~1995年的国家攀登计划关于“非线性科学”重要项目中，混沌研究列于三十个项目中的第四位，充分说明了我国科学界对混沌学的重视程度。以上是对混沌的简要概述，具体产生、控制方法可参阅文献。
2.2混沌的特征
从现象上看，混沌运动貌似随机过程，而实际上混沌运动与随机过程有着本质的区别。混沌运动是由确定性的物理规律这个内在特性引起的，是源于内在特性的外在表现，因此又称确定性混沌;而随机过程则是由外部特性的噪声引起的。下面就对混沌的特性进行详细介绍。
(l)内在随机性
混沌的定常状态不是通常概念下确定运动的三种状态:静止、周期运动和准周期运动，而是一种始终局限于有限区域且轨道永不重复的，形式复杂的运动。
第一，混沌是固有的，系统所表现出来的复杂性是系统自身的，由内在因素决定的，并不是在外界干扰下产生的，是系统的内在随机性的表现。
第二，混沌的随机性是具有确定性的。
混沌的确定性分为两个方面：
首先，混沌系统是确定的系统，是一个真实的物理系统;
其次，混沌及其理论混沌的表现是貌似随机，而并不是真正的随机，系统的每一时刻状态都受到前一状态的影响，是确定出现的，而不是像随机系统那样随意出现，混沌系统的状态是可以完全重现的，这和随机系统不同。
第三，混沌系统的表现具有复杂性。
混沌系统的表现是貌似随机的，它不是周期运动，也不是准周期运动，具有良好的自相关性和低频宽带的特点。
(2)长期不可预测性
由于初始条件仅限于某个有限精度，而初始条件的微小差异可能对以后的时间演化产生巨大的影响，因此不可长期预测将来某一时刻之外的动力学特性。即混沌系统的长期演化行为是不可预测的。
(3)对初值的敏感依赖性
随着时间的推移，任意靠近的各个初始条件将表现出各自独立的时间演化，即对初始条件的敏感依赖性。
(4)普适性
当系统趋于混沌时，所表现出的特性具有普适性，其系统不因具体系统的不同和系统运动方程的差异而改变。
(5)分形性
分形(Fractal)这个词是由曼德布罗特(B.B.Mandelbrot)在70年代创立分形几何学时所使用的一个新词，是指混沌的运动轨线在相空间中的行为特征。混沌系统在相空间中的运动轨线，在某个有限区域内经过无限次折叠，不同于一般确定性运动，不能用一般的几何术语来表示，而分维正好可以表示这种无限次的折叠。分维性表示混沌运动状态具有多叶、多层结构，且叶层越分越细，表现为无限层次的自相似结构。
(6)遍历性
遍历性也称为混杂性。混沌的“定常状态”不是通常概念下确定性运动的三种定常状态:静止(平衡)、周期运动、准周期运动，而是一种始终局限于有限区域且轨道永不重复、性态复杂的运动。所以，随着时间的推移，混沌运动的轨迹决不逗留于某一状态而遍历区域空间中的每一点。
通过前面的理论分析，我们基本了解了混沌电路的基本结构，我们自行设计如下的基本系统框图如下所示：
图4-1
下面主要介绍一下每个模块的功能以及参数的配置：
·Product
在系统中，我们用到了一次乘法器，输入为3位，其主要的参数如下：
图4-2
该乘法器的主要作用是将三路输入做相乘运算。
·Gain
其主要的参数设置如下：
图4-3
这里信号的增益设置为0.1，即将信号的幅度乘以0.1后作为信号的输出。这里我们用到了多个信号增益模块，主要有0.1增益，0.25增益，5.5增益和-7增益。
·integrator
积分器模块，1/s，主要左右为起到积分作用，用到了拉普拉斯变换，即在拉普拉斯域和1/s做相乘运算，从而达到积分作用。
其主要的参数设置如下：
这个模块比较熟悉，主要用于波形的显示功能，这里就不多做介绍了。
·XY Graph
这个主要用于波形的显示，功能上有点类似于plot函数，这里就不多做介绍了。
4.3 混沌电路仿真结果
通过上节的分析，我们基本得到了混沌电路的基本仿真模型，下面就这个模型给出我们的仿真结果。
点击XY Graph模块，可以得到如下的仿真结果。下面的图形就是我们寻找吸引子中的马蹄，用拓扑马蹄理论的知识来严格证明该吸引确实是一个混沌吸引子。
图4-5
根据混沌运动中混沌吸引子的特征，混沌吸引子是整体稳定和局部不稳定相结合的产物，在相空间的表现是“伸长”和“折叠”。它具有复杂的拉伸，折叠和伸缩结构 , 使得按指数规律发散的系统保持在有限的空间内，即一切位于吸引子之外的运动都向吸引子靠拢，对应着稳定的方向；而一切到达吸引子内部的运动轨道都相互排斥，对着不稳定的方向。也就是说从整体上讲，系统是稳定的，即吸引子外的一切运动最后都要收敛到吸引子上；但从局部来说，吸引子内的运动又是不稳定的，即相邻运动轨道要相互排斥而按指数型分离。
从实验中，很容易地观察到倍周期和四周期现象。再有一点变化，就会导致一个单漩涡的混沌吸引子，较明显的是三周期窗口。观察到这些窗口表明，得到的是混沌的解，而不是噪声。在调节的最后，看到吸引子突然充满了原本 2 个混沌吸引子所占据的空间，形成了双漩涡混沌吸引子。由于示波器上的每一点对应着电路中的每一个状态，出现双混沌吸引子就意味着电路在这个状态时，相当于电路处于在最初的那个响应状态，最终会达到哪一个状态完全取决于初始条件。
此外观察SCOPE，我们可以但到整个混沌电路的时域图。
图4-3
通过上述的仿真结论，我们就该仿真结果做简单的分析。系统输出了方波，从而验证了系统的正确性。