几何综合题型之最值问题解题策略 / 四六文摘

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最值问题是初中数学中的一种常见题型，而利用勾股定理、轴对称等知识求图形中的最值，是近年中考的热点问题第一。对这类问题，我们应该学会分析、观察图形，从中找出解题途径。

【知识讲解】

1. 两条线段和的最小值.

（一）、已知两个定点：

1、在一条直线m上，求一点P，使PA+PB最小；

（1）点A、B在直线m两侧：

（2）点A、B在直线同侧：

A、A^/ 是关于直线m的对称点。

2、在直线m、n上分别找两点P、Q，使PA+PQ+QB最小。

（3）两个点都在内侧：

（4）台球两次碰壁模型

变式一：已知点A、B位于直线m,n 的内侧，在直线n、m分别上求点D、E点，使得围成的四边形ADEB周长最短.

变式二：已知点A位于直线m,n 的内侧, 在直线m、n分别上求点P、Q点PA+PQ+QA周长最短.

（二）、一个动点，一个定点：

1、动点在直线上运动：

点B在直线n上运动，在直线m上找一点P，使PA+PB最小（在图中画出点P和点B）

（1）、两直线在定点的同侧：

（2）、两直线在定点的两侧（定点在两直线的内部）：

1.求两线段差的最大值问题 (运用三角形两边之差小于第三边)

基本图形解析：在一条直线m上，求一点P，使PA与PB的差最大；

1、点A、B在直线m同侧：

解析：延长AB交直线m于点P，根据三角形两边之差小于第三边，P’A—P’B＜AB，而PA—PB=AB此时最大，因此点P为所求的点。

2、点A、B在直线m异侧：

解析：过B作关于直线m的对称点B’,连接AB’交点直线m于P,此时PB=PB’，PA-PB最大值为AB’

3. 其它非基本图形类线段和差最值问题

1、求线段的最大值与最小值需要将该条线段转化到一个三角形中，在该三角形中，其他两边是已知的，则所求线段的最大值为其他两线段之和，最小值为其他两线段之差.

2、在转化较难进行时需要借助于三角形的中位线及直角三角形斜边上的中线。

3、线段之和的问题往往是将各条线段串联起来，再连接首尾端点，根据两点之间线段最短以及点到线的距离垂线段最短的基本依据解决。

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