【名师支招】三大变换之旋转（半角模型）
半角模型是全等三角形中一种常见的模型，如果说三垂直偏方法，手拉手半题型半方法，那么半角模型就是彻彻底底的一种题型，本文将介绍常见的半角模型结论．
常见的半角模型可以分为“90°+45°”和“120°+60°”两种，其中“90°+45°”居多，而表现形式通常是在正方形中．
两个基本结论其一
如图，在正方形ABCD中，E、F分别在BC、CD上，且∠EAF=45°连接EF．
结论1：EF=BE+DF．
证明：延长CD至点G使得DG=BE【截长】
易证：△ABE≌△ADG（SAS）→ AE=AG，∠GAF=45°
易证：△AFE≌△AFG（SAS）→ EF=GF
综上：EF=GF=GD+DF=BE+DF．
【变式】若E、F分别在CB、DC延长线上时，结论变为：EF=DF-BE．
证明：在DC上取点G使得DG=BE【补短】
易证：△ABE≌△ADG（SAS）→ AE=AG，∠GAF=45°
易证：△AEF≌△AGF（SAS）→ EF=GF
综上：EF=GF=DF-DG=DF-BE
两个基本结论其二
结论2：连接AD，与AE、AF分别交于M、N，
则：MN²=BM²+DN²．
证明：构造△ADM’≌△ABM → AM=AM’，∠MAN=∠M’AN，BM=DM’
易证：△AMN≌△AM’N（SAS）→ MN=M’N
易证：△M’DN是直角三角形 →M'N²=M'D²+DN²→MN²=BM²+DN²．
除了以上两个常用结论外，在这个图形还有一些其他有趣的结论．
结论3
若BE=1/3BC，则点F是CD边中点．反之亦然．
结论4
过点A作AH⊥EF交EF于H点，则△ABE≌△AHE，△AHF≌△ADF．
另外还可得：AE平分∠BEF，AF平分∠DFE．
结论5
A、B、E、N四点共圆，A、D、F、M四点共圆．
证明：∠EAN=∠EBN=45°，∴A、B、E、N四点共圆．同理可证A、D、F、M四点共圆．
另外还可得：连接EN、MF，可得△AEN、△AMF是等腰直角三角形．
结论6
M、N、F、E四点共圆．
证明：∵∠MEF=∠MFN，∴M、N、F、E四点共圆．
结论7
△AMN∽△AFE．且相似比AF：AM=根号2．
由构图3可得∠ANM=∠AEF，∠AMN=∠AFE．可得△AMN∽△AFE．
结论8
△MAN∽△MDA，△NAM∽△NBA．
结论9
连接AC，则△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且AF：AM=AC：AB=根号2．
【小结】从结论5开始，后面的可能都用不上，但既然半角模型作为题型出现，了解下图形的更多性质有时候能帮上大忙．在这里除了给的∠EAF=45°外，正方形对角线也会形成其他45°角，多组相等角总能撞出些火花．
半角模型—120°+60°
证明：延长AC至点G使得CG=BE，
【思考】若点F在AC的延长线上，EF、BE、CF之间又有何数量关系？
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