五年级：美妙数学之'格点图形面积计算——三角形格点'(0818五）

美妙数学天天见，每天进步一点点。

亲爱的同学们，你们好，我是朱乐平工作室的老师，今天要和你们分享的内容是《格点图形面积计算——三角形格点》，我们一起来研究其中的学问吧！

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数学领域中有一类问题叫做“格点图形面积计算”问题。昨天，我们一起探索研究了正方形格点多边形的面积计算。我们知道了

正方形格点多边形面积=一周格点数÷2+中间格点数-1

今天我们主要研究三角形格点多边形面积如何计算。首先我们一起来看一看。

时长

07:16

三角形格点

下面的多边形都是以三角形格点为顶点的多边形。（每相邻三个点都是正三角形，其面积为1）

1、中间格点数，一周格点数与面积有什么关系？

答案：

2、计算下列各点多边形面积。（每相邻三个点都是正三角形，其面积是1）

答案：

（1）   S=8 × 2+3-2=17

（2）   S=16 × 2+6-2=36

（3）   S=12× 2+8-2=30

你知道吗？

什么是皮克定理？

1899年，犹太数学家皮克（Georg Alexander Pick）发现了一个被誉为“有史以来最重要的100个数学定理之一”的“皮克定理”（Pick's Theorem）。这个定理是这样说的：给定顶点座标均是整点（或正方形格子点）的简单多边形，其面积𝑨和内部格点数目𝑰、边界格点数目𝑩的关系为𝑨=𝑰+𝑩/𝟐−𝟏。

根据皮克定理，我们可以得到：

我们可以通过间接计算的方法验证这个结果：

S＝S长方形－（S1＋S2＋S3＋S4＋S5）＝12×8－（1×4÷2＋6×4÷2＋6×2÷2＋6×4÷2＋7×3÷2）＝96－（2＋12＋6＋12＋10.5）＝96－42.5＝53.5。

哇，最终的结果正如皮克定理所说的那样，面积的计算居然可以通过数点数来得到，真的很神奇有木有？

Pick于1859年出生在奥地利的首都维也纳，1943年死于特莱西恩施塔特集中营。我们在欣赏这样美妙的定理之时，不禁要缅怀一下这位伟大而不幸的数学家。

小结：

一个好的数学结果，除了定理本身漂亮之外，更要紧的是它要具有推广的潜力，能在许多相关结果中占有枢纽的地位。皮克定理就具有这样的推广潜力。

皮克定理有许多方向的推广。例如：它可以推广到更一般的多边形，边可以交叉，中间可以挖掉多边形；也可以推广到不同形式的格子点，如正六边形格子点；更可推广到三维空间的多面体之情形。

其实在我看来，我们学习的重心不在于皮克定理是什么，而是在于如何去发现、探索、猜想并证明一个定理，这才是学数学要学的重要方面，公式本身并不能说明什么问题，但背后的原理和证明过程往往很精彩。希望每一个学数学孩子都不要只顾着解题与技巧，而忽略了数学公式背后那些精彩而又美丽的探索与发现过程。

美妙数学天天见，每天进步一点点。亲爱的同学，今天的话题我们就讲到这里，咱们明天再见！

图文、视频：王珍珍

审核：陆昌波