对不起，你教给孩子的知识不是数学
前言
很多人从小学数学一直学到大学数学，等到了要辅导自己孩子数学的时候，其实还没有真正理解“数学到底是什么”。
在我接触过的国内和国外的本科生中，都存在这样一类学生——他们学习刻苦，也非常聪明，但是不知道为什么，往往需要花三四倍于别人的时间，才能和别人达到一样的学习效果。他们根本的问题实际上并不是大学数学，而是小学和中学的数学。
他们从小就对数学形成了一种机械化理解，以为数学就是按照老师教过的方法，解决刷题时见过的题型。但是大学学习时，我们需要超脱于题型，看到现象；超脱于方法，看到本质。那些养成了机械化数学习惯的学生，无论再刻苦，再聪明，面对大学数学的学习都会陷入被动又痛苦的境地。
这让我联想到很多家长，在孩子三四岁的时候着急地让孩子“背诵加法”，甚至因为孩子“记不住”而搞得鸡飞狗跳。当成年人不知道自己在做什么的时候，很容易领着孩子走入误区，进入难以挣脱的“学习陷阱”。
因此，我们开辟了“给家长的数学思维课”系列。只有成年人自己先理解了“数学是什么”，才有可能把数学的真谛传授给孩子。
在上一篇文章里，我们讲到数学的起点来自于抽象。在今天的文章里，我们切入正题，仔细来看看数学到底是什么，以及如果要给孩子辅导数学，如何判断什么是有效的帮助。
由于中国孩子的升学过程中，数学扮演着举足轻重的角色，所以中国家长总是对辅导孩子数学这件事相（guo）当（fen）关注。
然而，关注归关注，家长自己是否了解“数学是什么”呢？在我的观察中，大多数家长真的不太了解数学，从而更加无法理解如何去教数学，导致用力过猛，效果奇差。
今天，我想有针对性地探讨一下这个问题，希望能给试图帮助孩子学习数学的家长一点启发。
数学到底是什么？这个问题其实非常复杂，许多数学哲学家吵来吵去，争得面红耳赤、义愤填膺，最终也没有一个明确的定义。
但是无论数学是什么，有一点是确定的：数学，绝不是一大堆客观的知识。相反，数学应该是追逐客观知识的主观过程。
数学不是知识。数学是过程。
因此，数学不是用来学的，
而是用来经历的。
这一点非常重要！
我们前面讲到，无论是我们主动教给孩子各种排序法，还是我们让孩子去背古诗、记汉字，这些都和数学思维没有任何关系，因为它们都是知识。
相反，当我们让孩子自己随意玩耍、按照自己的方式胡乱排序，或者给孩子讲述古诗背后的故事和背景，亦或带着孩子回忆以前发生的事情的时候，我们的重点都在于给孩子体验和经历。
实际上，不仅数学如此，真正的学习都要依靠经历。只有孩子经历了，他们才能真正“学到”这个知识；在孩子尚未经历过的时候，强行让孩子“记住”知识，会导致孩子效率很低、忘得很快、很难进行应用。
比如说，当孩子学习“加法”的时候，他需要生活中大量的“加法经验”来支持他建立一个加法的知识体系。如果他已经看过、听过、使用过大量的“加法”，比如吃零食跟家长讨价还价、坐电梯看到层数的变化、买菜见到了如何算账，他的经历就足够支撑他的学习。
那么，当他在学习加法的时候，就不是在背诵知识，而是把他已经知道的事情，在成年人的帮助下，用逻辑的语言梳理清楚，从而能够流畅地理解和表达加法背后的故事。
不仅如此，在结合经历真正“学会”加法之后，孩子还能更轻松地去发展出新的联接，进行知识的迁移应用，学习新的相关的知识。
相反，如果一个孩子从小就开始“背诵知识”，比如三四岁就背加法算式背单词，或是五六岁就开始学习一些机械操作方法（做题套路），背住之后套用方法去解题，这些短期内的“成果”会迷惑家长，以为孩子学到了很多。殊不知，孩子们很容易就掉入了一个“学习陷阱”，一个难以挣脱的恶性循环：
因为没有时间去玩耍、体验和经历，知识对于孩子而言是陌生的，他实际没有“学习”到这些知识，只是在成年人的要求之下“背住”了，而背住知识是很困难的，需要大量的时间，于是孩子又被进一步剥夺了玩耍的时间，更没有机会去真正“学习”了。
更难的是，如此背住的知识并没有在孩子的知识体系中建立联接，他很难去迁移和应用知识，题目稍一变通，超出他背诵的套路范畴，他就束手无策了，只能花更多时间去背更多的套路。
如何避免孩子落入这样的恶性循环呢？方法既容易，也很难。
容易在于，我们首先要明白，数学不是一个依靠死记硬背能学好的学科，家长如果只是去监督、管理、看守着孩子学习数学，除了提供外驱力把孩子不断推入恶性循环以外，没有任何实质的效果。所以我认为，如果家长除了督促孩子学习，不知道如何提供有效帮助，那还不如放手，给孩子更小的压力是很多家长能做的最好的事。（请参看我们之前的内驱力系列）
难点在于，如果家长不甘于放手，非要做点什么的话，就一定要注意我们带给孩子的必须是经历，而不是刻板的知识。这对家长的要求就比较高了，需要家长去自己潜心学习、打磨技艺，不是单纯花时间去陪着孩子做作业这么简单。
在这里，我为大家提供一种思路。这不是唯一的方法，但相对而言简单可行，算是抛砖引玉吧。
当我们试图去教孩子、给孩子提供帮助或者带给他们经历的时候，我们可以用这样一个评判标准来反思自己做法的有效性：
经过这样的学习或者操作，孩子的知识体系中，能与之前掌握的知识建立联系、或者能跟他的生活建立联系和应用的部分，是更多了还是更少了？
例一
假设我们让孩子背圆周率小数点后100位。孩子能背下来吗？大概率是可以的，毕竟一个七言律诗56个字，我带孩子背100个数字，也就大概等于两首古诗的量，只要天天背，总是能背下来的。现在，孩子的知识增加了，看起来似乎很厉害。可是这个知识有什么应用吗？跟孩子的生活有什么关系吗？并没有。这坨知识悬在空中，真正是毫无卵用。那么，学到了这个知识，孩子的全部知识中与生活有关系的比例，实际下降了，所以这个知识不仅无效，可能还是一个负担。
例二
我家里有个美国朋友送的英语和西班牙语双语学习板，肉丸特别喜欢自己玩这个。虽然我们平时不跟他说英语，但是他每天会看英语的佩奇动画片，也会让我们讲英语的绘本，所以逐渐也积累了一点英语词汇。
他会抱着这个板子自己找乐子。比方说，他按z的时候，板子会说：zoo，他就问我，这是不是我们刚看的书里讲的东西？然后他屁颠屁颠地去拿了昨晚讲的动物园绘本过来跟我一起看。此时，他的知识中，与生活有关系的比例，就是上升的，这个知识比较有效地建立在他的知识系统中了。
另一方面，饭团有时候看见哥哥玩这个，也会好奇拿过来一通乱按。但是他真的就是乱按，什么也没搞懂，戳一会无聊了就玩别的去了。对于饭团来说，他的知识中，与生活有关系的比例并没有发生变化，这个学习板对于他还没有什么意义。
例三
假设我们教会了孩子加法。这到底是好事还是坏事呢？不好说。如果只是让孩子背住加法的算式，比如2+3=5，但是接下来生活中并不使用，那么孩子的知识中，与生活有关系的比例是下降的。
我们家每天晚上刷牙前，都会让两个孩子吃一点零食。对于饭团，我直接问他要吃几个，一般来说他说几个我就给几个（如果说的数太大了我就让他重新说一个）。对于肉丸，假设他说要五个，我就给两个，问他还剩几个。这时候，2+3=5这件事就和生活直接相关了。
例四
即使是刷题，也是有好有坏的。
我小的时候刷过一个运算本，里面的题目大概是这样的：5+7=?，5+8=?，5+9=?，5+10=?，以此类推。我怎么做呢？第一个式子我算出来是12。然后后面我就不算了，直接13,14,15,一连串地往下写。这种“投机取巧”，才是真正的数学。
我自发地意识到了一个数学规律，并且立即进行了应用。这里面涉及的知识少，仅仅是第一个等式以及我自己发现的规律。而所有后面的计算都是对我发现的规律的应用。这就是良好的知识应用比，知识之间的联系被打通了。
假设这时候一个不懂数学教育的老师发现了，立即训斥说：你怎么能这样投机取巧呢？快给我好好练习进位！这时候，每一个计算题都变成了独立的问题。虽然知识很多，但是彼此之间却完全没有应用关系。这里知识和应用的比值就变差了。
数学不是用来学的，而是用来经历的。没有经历的数学是学不好的，背诵的机械操作只能带给孩子越来越多的痛苦。
如果家长有时间和精力去自我学习和成长，帮助孩子创造更理想的环境去自由探索，带孩子进行更多有益的经历和活动，才能从根源上帮助孩子提升数学的学习效果。
而对于大多数时间精力有限的普通家长而言，对孩子真正的帮助就是放手。减少外驱力对孩子的挤压，保护孩子学习的内驱力，也许孩子短期的成绩令人担忧，但长期而言是孩子跳脱出恶性循环的唯一解法。
（END）
参考文献：
Glasersfeld, E. (Ed.). (2006). Radical constructivism in mathematics education (Vol. 7). Springer Science & Business Media.
作者：Yilong