庖丁解牛|2021杨浦区初三一模数学试卷解答与分析
对试题给出了比较详细的解答，T2和T24（3）给出了瑕疵分析与改编，部分题目给出了多解，部分题目给出了题源。还有一些不足有待改进，算是“花未全开月未圆”.
T1-T17（无T2）
T2
我们来说一说这道题，首先上面的解析思路自然是大多数学生的思路，得到的答案也确实是正确的，但是这种解法是有问题的。由三角知识可得：如果知道三角形某个内角的正弦值，这个角是有两种可能的，可能是钝角可能是锐角（正弦值为1时，一定是直角），这道题的问题即在这里。九年级学习的知识点是锐角三角比，其中三角四比（即3个特殊角：30°、45°、60°的正余弦值和正余切值）是需要学生牢记的（T19就是专门考察这一内容的一道题）。如果给定一个直角三角形，并且告诉这个角的正弦值为1/2，那么得出这个角为30°是没有问题的。而此题让学生来判断三角形的形状，就不能因为学生只学过锐角三角比而不去考虑这个角为钝角的情况，这是一个解题逻辑上的错误。本题之所以没有引起讨论，主要是因为答案确实是没有任何问题的，完备解题过程如下：
接下来我们把题给条件做一下变换：
到此，我们会发现九年级的学生并没有通过三角比的值去推定任给三角形的形状的知识储备，这道题更应该出现在高一学生学习三角知识时的课堂练习题里。
在之前关于命题前瞻的推文里，我曾提到过基础题的推陈出新不容易。这道题客观上来说是一道创新题，学生们瞬时陌生的感觉并不强烈，但由于其涉及的解题逻辑有问题，故该题应为瑕疵题。这里分享一道原创题：
T18
T19-T22
T23
接下来我们详细说说勘误前的第二问
【解析】笔者在考试当天看到微信上发的卷子时，不知道这道题已经勘误了，拿到同学发过来的卷子才看到这道题第二问的求证被改了。我第一次做的时候，直接按照这个“平方比等于一次比”的命题思路路做了出来，我在考前点题卷也发过一道这样的题目（T23），当时花了一上午磨那道原创题，具体参见之前的推文：
做到这里，我们的思路是流畅自然的，那么这个题为什么要勘误呢？（崇明区一模23第二问也考察了这种思路）原因就在于题干的条件我们没用呀！是不是蛮意外？没有用到题给条件就把结论证明出来了，只能说明我们的解题思路和命题人在试卷定稿时的命题思路是不一样的，同时也可以这样推理：直到试卷已经下线印刷教研员是还没发现此题是有问题的，最后才只能通过勘误小纸条的方式修改此题的题干。
下面我们来试着探究教研员的命题思路，即教研员的原本想让学生们怎们证。
到此，我们发现这种证明过程也是流畅自然的，还结合了第一问的结论（其实问题也就出现在这里），看似是一道好题，最终却发现条件是多余的，未免让人觉得有些遗憾。不过所幸教研员及时发现了这一处问题，而没有对考场上的学生造成困扰。至于为什么会导致这种命题失误，我们留一个悬念，后面有时间再把稿发出来，也欢迎有兴趣的老师或同学发表自己的看法。不过，有一点应该是共识，命制T23的直观感觉就是基础模型＋灵活思路中的灵活思路并不是很容易把握，要让学生想到并且严格把控证明可能的几种过程是困难的（例如前面提到的样卷T23，从学生处收集到的和我本意不同的证明方法就有2种）。
T24
【点评】要说一下第三问，此题严格来说是有问题的，一元二次不等式不是初中知识点，学生直接去解第一个不等式是有知识障碍的。另外一个问题是此题用临界分析法来解是不严谨的，只有结合倾斜角正切值的单调性分析才能确定下来具体范围，而不只是一个临界值。我们尝试做一下改编：（3）请确定一个m的值，使直线PB与x轴的负半轴相交，并写出这个交点的坐标．
把范围问题改为存在性的开放性问题，避开了学生的知识盲区，给成绩中等的孩子做对的机会。这样一来，只要学生愿意去计算去分析，应该是有很大机会找到一个m的，同时解题过程中不出意外m＝1这个答案可以让学生自己去探索和排除，另外学生容易意识到自己的取值在正确的情况下要尽量简单，不然会大大增加后续的计算量，在自主分析与研判中使学生的理性思维得到锻炼。
接下来提供一种可能的学生解题过程：注意到m＞0，取最简单的m＝1，容易看出此时点P和A是重合的，故舍去.接下来m自然取2，计算直线PB时发现PB平行于x轴（此时P和B的纵坐标相同）.接下来不同程度的同学就会出现分歧，有的同学可能会让m继续取更大的3，有的同学可能就会想到取m＝1.5.
下面就变成了待定系数法求一次函数解析式了，过程如下：
T25