2字节取值范围
临界点和取值范围问题是中考数学常考内容之一，一般与几何、函数一起考查，而取值范围问题，可能涉及不等式和代数式有意义的问题。
我们今天简单看一下临界点问题和取值范围常考哪些内容。
(1)求取值范围：
①根据判别式求取值范围：
例：已知x²-2mx+m+6=0有两个不相等的实数根，求m的取值范围
思路：显然有两个不相等的实数根需满足△=b²-4ac＞0，本式中a=1，b=-2m，c=m+6。
所以有(-2m)²-4(m+6)=4(m-3)(m+2)>0
易知 m的取值范围为m3
②有无数解问题：
例：❶若ax²+ax+1>0恒成立，求a的取值范围。【一般不等式均有无数解，这里我们说是恒成立】
思路：实际上是考查对二次函数图像的认识，因为不等方程是＞0，所以二次函数需满足开口向上即a>0,且与x轴无交点，即判别式△<0,易知0
例：❷关于x的不等式2x+5-a>1-bx恒成立，试确定a，b的取值范围。
思路：对于任意的方程ax+b=0，只有在a和b同时为0的时候，方程有无数解(为什么？因为a=0，则ax恒为0，与x的取值无关)。而对于不等式ax+b>0，则必须是在a=0，b>0，时才可能恒成立。
所以此题先移项化为(2+b)x+4-a>0，则有b=-2,a<4。
②无解问题(二次函数问题不再举例)：
例：❶
思路：不等式组无解的思路是让两个不等式解到的解无公共部分例如(不存在x>1且x<0的值)。
本题中x-3(x-2)≤4，解得x≥1，第二个分式不等式解得x＜a，所以只需保证a不大于1即可，即a≤1。(注意对于a是否能取1，不熟练时单独拿出来分析一下)
❷我们将上一题略微改动：
思路：注意改动的位置，第一个不等式不等式改变，则解变为了x≤1，而整个不等式组的解也是x≤1，所以第二个不等式解到的解必须是x1，解得2/3【同样，临界点a=1可以单独拿出来分析】
③代数式有意义问题(定义域)：
一般情况下初中阶段代数式有意义的问题主要是偶次(初中一般就是根号)根下代数式需大于等于0，分式中分母不等于0。
例：
显然此题即有根号又有分式需满足x-2>0,3-x≥0，则2
④给定x的范围求y的范围(值域)：
最简单的问题是一次函数：若y=-2x+4，且x>4，试求y的取值范围。
因为x>4,则-2x
例❶：求关于x的函数y=x²-4x+9在实数范围内y的取值范围
显然可以进行配方或直接应用顶点公式，这里举例是非常简单的所以进行配方(根据(a+b)²=a²+2ab+b²，一对一的凑出来， 这里把x看成a，2b应该对应-4，则b=-2，b²=4)：
y=x²-4x+4+5=(x-2)²+5≥5
❷：还是上面的题目，关于x的函数y=x²-4x+9在0
有的同学非常聪明，直接将x=0和x=3，代入后y=9或y=6，所以6
注意：这样做未考虑其他取值情况，而实际上当x=2时y取最小值5，故y的取值范围是5≤y＜9。
(2)临界问题：
一般情况下在确定某代数式的取值范围时均会考虑临界问题，以上举例中的各边界点均是临界，但在几何中和二次函数或反比例函数找交点时略有不同，常常与动点一起考查。
①几何相关
例❶：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=3，AC=4，P为边BC上一动点(不包括点B、C)，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，则EF的取值范围是？
思路：我们能看出来的是AFPE是个矩形，这样求EF其实就演变成了求AP。P点在移动过程中当AP垂直BC时最小，当移动到C点时最大。
当垂直时：5×AP=3×4，AP=12/5,而移动到C时最大为4，显而易见。
例❷：如图，在直角坐标系中，△ABC的顶点A、B、C的坐标分别是(3，3)、(2，-2)、(0，c)，则当△ABC成为锐角三角形时，c的取值范围是_________________.
如图左图是给出的图形，有图我们找临界点，首先C向上移动不能超过上红线、向下移动不能超过下红线同时，移动过程中∠ACB还会经历一个从小变大再变小的过程，我们还要找到中间的临界点，这道题对于高中阶段解答起来要比初中容易的多(斜率相乘等于-1)，也不是不可解。
首先距离公式推导(按下图，AD和BD均用AB坐标来表示出来，不推导出公式也可以，但要会计算d²=(x1-x2)²+(y1-y2)²：
AB²=AD²+BD²=1+25=26
上方临界点：(c-3)²+9+26=4+(c+2)²解得c=3.6
下方临界点：26+4+(c+2)²=(c-3)²+9解得c=-1.6
验证中间临界点：(c-3)²+9+4+(c+2)²=26解得c=2或c=-1。
则可知c点的取值范围被分成了两段-1.6到-1,2到3.6。
几何题先举例此两题
②函数问题
例：
这是某年北京市中考压轴题，其中第二问的第二小题便是临界问题，需要画图：
蓝线便是临界(一般解题思路是一点点的平移)
k值已计算得4，而实际上直线平移过程中与y轴的交点便是(0，b)，简单理一下思路：
例：已知点A，B的坐标分别为(1，0)，(2，0)，若二次函数y=x²+(a-3)x+3的图像与线段AB只有一个交点，则a的取值范围是( )。
一定要画一画：
明确一点：此二次函数开口向上：那么如果二次函数与x轴只有一个交点，那么此时
(a-3)²-12=0，解得
显然当a=3+2√3时满足题意。
另外：若另一个交点在右侧，一个在其中则有当x=2时y<0,当x=1时，y≥0，即-1≤a＜-1/2;
若另个一交点在x轴左侧，一个在其中则有当x=2时y≥0,当x=1时，y＜0，此时无解。
所以a的取值范围是a=3-2√3或-1≤a＜-1/2。
返回头再看此题实际上需满足x=1和x=2时y的取值异号或其中一个为0即可，
即求(2a+1)(a+1)≤0,且判别式大于等于。
关于临界点或取值范围的题目数不胜数，这里只是简单举例。题目有找的，有临时出的。