鹏哥谈数学|找“点”的艺术 （导数探寻函数的零点问题）
今天是2019年3月8日
第38个国际劳动妇女节
祝各位女士、女同学.....
节日快乐！
亲爱的同学们大家好
今天和大家一起来谈谈
“用导数找函数零点”
问题
......
当然
这是大神级别的走位，犹如王者荣耀里妲己魅力维加斯，孙尚香的蔷薇之恋，小乔纯白花嫁......
王者里面，最爱“脱了罩”的女英雄.....（爱美之心嘛！鹏哥也少不了......）
当然
题外话啦....（呵呵）
我们继续
“用导数找函数零点”
问题
这里面最让大家抓狂的就是找点的问题
......
这个问题也一直困扰着我
......
直到今天，鹏哥也是抱着谦虚得心态
一直领教着同行大咖！
两个函数图像相交，就产生了交点；
函数与x轴相交，就产生了零点；
二者本质是一致的，
零点是不等式的临界情况，是等量关系到不等量关系的过渡，是函数中的重要问题之一。
一：零点
二：可求性零点
1.解方程求函数零点
函数零点转换为对应方程的根。对于无理方程，对数式方程、指数方程，一般可同解化为常见的一元一次、一元二次方程。
2.抽象函数的零点
对于抽象函数的零点问题，关键是结合抽象函数的性质，对称性（点、轴对称），周期性予以解题
3.零点问题的多样化呈现与延伸
以上四类问题可以当做零点问题的另类呈现、应用于拓展
三：零点不可求型（隐零点）或无须确切求出零点类型
1.数形结合确定零点个数
数形结合的思想：
1.先合理转化，将函数转换为两个基本初等函数交点问题；
2.画图（熟悉基本函数图像；熟悉变化趋势、极值点、边界值及凹凸性）。由于是手工绘图，所以眼睛也会欺骗你，一定要仔细！
2.换元法、数形结合解决复合函数的零点问题
对于此类嵌套函数f(x)（复合函数）的零点问题，不妨先令内层函数为一个变量t，通过两个函数图像得到t的范围，再根据所换的元t与函数f(x)的图像位置关系，确定零点的个数
3.整体代换法解隐零点问题
通过放缩，去掉参数，在函数极值点不能求解时，虚设零点，整体代换策略，下面再附两种方法：
下面是本专题的核心板块，算是放大招了！！！（难点和重点！！！）
四：利用零点存在性定理精确定位零点
放大招 —— 找“点”
找“点”问题在历届高考中出现的极多，形式上常以零点存在性定理判断函数零点、恒成立的问题等等。一般情况下尝试猜想特殊值是一种不错的方法，但并非每次都凑效。
由于我们只需要找到这样的“点”，所以我更倾向建议大家用放缩的思路，将问题简化处理。所以我特意花了点时间整理了一下，结合资料参考谈一下自己的想法，希望对大家能有所启发。
由于笔者水平有限，不到之处请各位看官海涵！
处理这类问题需要分三步走：
（趋势、极值点、边界值）
前两步极易处理，用导数就可以搞定，主要是边界值问题，我们需要细分为两个环节：
（1）弄清楚边界变化情况，特别是x趋向于0，无穷时函数的趋势，也就是函数的极限情况；
（2）取点，进行严谨说明。
由于高中阶段严格意义上来讲不讲极限内容，并且高考也不能使用，但是我们需要稍作了解，这将帮助我们更进一步认识函数结构，进行适当放缩找点。
（一）谈谈函数的极限问题
当然我只做一个定性的认识，不做专业层面的分析和讲解。
首先，大家得弄清楚一件事实，即幂指对函数的变化趋势（如下图）：
当然这个事实的证明有可以从几个不同方面入手：
一是函数指对幂函数的性质（指数爆炸、切线相关性质.....）
二是构造函数进行比较（做差等）证明；
三是用洛必达法则（高等数学），了解即可，洛必达法则的概念（如下图，学霸可以咨询、记忆理解！）。
有了以上的认识基础，我们解决函数边界的趋势问题大概就可以比较轻松了！
（二）谈谈放缩的手段
爱学习的小伙伴都知道在导数中，有两个常见的切线放缩
一般情况下利用这两个不等式及变形，基本能处理绝大数的问题了。但是为方便起见，我们可以舍掉部分结构进一步放缩，已达到最简要求！例如：
通过以上两个简单的放缩，我们还可以做一下的变形：
在平常的考试中，我们还要重点记忆和理解好一下几个常见放缩的变形（切记考试需要给出证明过程）：
显而易见，“点”不好找，本质上是不等式不好解，但这样的“点”有无穷多个，我们只需要找到一个即可，所以我们可以舍难取简，适当退一步，放缩一下，将不容易求解的不等式转化为容易求解的不等式。但是要注意放缩不能改变函数整体的相对变化趋势。具体如何放缩要看函数的结构和性质。我们举例重点题型来讲解！
1：几个经典函数模型
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2：常用的找点技巧（借用名师的策略，权当学习，各位勿怪）
（1）放缩法（在目标区间上找到一个逼近函数）
（2）经验法（理性中的感性）
（3）分而治之法（对各个因式分别放缩）
（4）构造法（大胆分析，看零点区间随参数变化趋势，构造与之匹配的代数式作为区间端点）
（5）局部构造（放缩舍去影响计算但不影响符号的项，剩余项进行相关处理）
3：经典题型、历年部分高考题整理
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各位看官、各位小伙伴，整理这些着实不易，参考了多处文献，问及了好多经验名师，特此谢过！由于时间仓促，不足之处请各位多多见谅！