荒谬的分数微积分——打破常规，在物理和工程领域产生伟大的成果
微分学是由艾萨克·牛顿和莱布尼茨分别独立发明的，人们认为n阶导数的概念，即连续应用微分运算n次，是有意义的。在1695年的一封信中，洛必达问莱布尼茨，n可能不是整数，比如n=1/2。莱布尼茨回应说：“这将导致一个悖论，总有一天会从中得出有用的结论。”莱布尼茨是对的，但直到几个世纪以后，人们才弄清楚他究竟有多正确。
这篇文章将会探讨像求1/2阶导数这样的问题，并介绍分数阶微积分的理论。
直觉
有两种方式来解释这个表达
第一个是我们在基础微积分中都学过的：它是我们反复微分n次后得到的函数。第二个更微妙：我们把它解释为一个操作符，它对函数f(t)的作用是由参数n决定的。
最自然的回答这个问题的方法是把微分和积分解释为把f变成一个新函数的变换。因此，我们要寻找一个算子可以连续地将f变换成它的n阶导数或不定积分。
分数积分和导数
要开始研究分数阶微分和积分算子，最自然的方法是使用一个叫做柯西重复积分公式的公式。如果我们反复求一个函数的n阶不定积分，那么结果是：
阶乘函数的泛化是函数。如果我们注意Γ(n) = (n - 1) ！那么推广柯西公式以包含实数阶α（严格大于零）的一种明显方法是：
实际上，对于分数阶积分，这是一个有效的运算符。它叫做左黎曼-刘维尔积分。我们稍后将讨论“左”限定词的用途。事实上，在文献中有许多不同的分数阶积分算子，但R-L积分是最简单、最容易使用和理解的。注意，α可能也很复杂，实部严格大于零，为简单起见，我们将假定α为实数。。α= 1/2的特殊情况叫做半积分。
R-L积分遵循以下重要关系：
有人可能会天真地认为我们已经完成，我们可以简单地定义分式微分：
不是这样的。问题是函数不是为0或负整数定义的，这将留给我们一个一般化的微分运算它，甚至不适用于一般的微分运算!我们必须有创造性地找到解决办法。
我们首先注意到，在对n次积分后对n次求导等价于恒等运算：
这意味着导数是积分的左逆。然而，积分不是导数的左逆，因为积分加上了一个任意常数。也就是说，一般来说，以下说法是不正确的：
有鉴于此,我们期待分数阶导数α的性质：
显然，我们也希望能够把分数阶导数写成我们理解的算子的形式。我们理解了对整数阶的微分以及对整数阶和非整数阶的积分。我们可以从这些组件操作符中构造出一个具有所需的左消属性的操作符：
α称为α 的上限函数，是将α舍入到下一个整数的结果。我们发现这实际上是正确的运算符，并将其完整写出如下所示：
这是左黎曼-刘维尔分数阶导数。人们可以清楚地理解为什么这个领域的研究花了近300年才有所进展：如果没有计算机的帮助，用分数微积分进行的大多数计算即使不是完全难以处理的，也是乏味的。
利用我们提出的分数积分和导数，我们现在可以把它们分段组合起来定义微分算子：
以下动画显示了黎曼-利维尔微分积分如何在函数f（x）= x，f（x）= 1和f（x）=（1/2）x之间连续转换：
图片来源:维基共享观察从-1到1的α值，绿色曲线所示的微积分如何在y = 1和y =（1/2）x曲线之间摆动。
属性
很好奇，总是想知道当尝试做一些奇怪的事情时会发生什么，例如插入一个分数以区分顺序，因为这当然会产生许多重要的发现，但是当进入未知领域时，应该做好准备放弃您已经知道的许多知识，并视其为自然而显而易见的东西。
这基本上是一种老生常谈的说法，很多我们都熟悉普通导数和积分的基本性质，比如链式法则和乘积法则，在一般情况下不适用于分数阶导数和积分，或者它们具有复杂的形式。但是，我们讨论的RL积分和导数并不是唯一可能的差分积分算子，实际上，存在一个以不同方式将微分和积分泛化为非整数阶的整个方法，并且可以通过保留许多经典特性。但是，我们在本文中将重点放在RL运算符上，因为它们以及密切相关的Caputo运算符，是最容易理解的应用程序，也是最常见的应用程序。
RLFD的另一个有趣的特性是非局部性。当我们计算一个整数阶导数在某一点的值时，结果值只依赖于该点。这个看起来很明显的属性叫做局部性。分数阶导数就不一样了。分数阶导数是通过对整个取值范围内的积分得到的，积分的下界有一个非平凡的依赖关系，所以我们应该把分数阶导数恰当地写成：
在分析物理系统时a = 0的情况很常见，因为因变量通常是时间，并且任何给定时间的分数导数将取决于以前所有时间的系统状态，即从在t = 0时开始实验。
这种非定域性是分数阶微积分在应用中的主要驱动因素之一。有许多有趣的物理现象具有所谓的记忆效应，这意味着它们的状态不仅取决于时间和位置，还取决于先前的状态。例如，我们可以想象一个电路元件，它的电阻取决于在一段固定时间内通过它的所有电荷。具有记忆效应的系统很难用经典微分方程进行建模和分析，但是非定域性赋予了分数阶导数一种内置的能力来整合记忆效应。分数阶微积分可以证明是一个非常有用的工具来分析这类系统。
非局部性也是我们在讨论左RLFD时必须小心的原因。你也可以改变积分的顺序来定义正确的分数阶导数：
右边的RLFD与左边的完全不同，尽管外观相似。正确的分数阶导数还没有被研究得那么多，它们在应用环境中也没有那么有用。要理解其中的原因，请考虑左RLFD中的非定域性属性意味着什么：它意味着物理系统的状态依赖于它以前的状态。如果一个正确的RLFD描述了一个物理系统，那么该系统在给定时间的状态将取决于它的未来状态，这在物理上是不合理的。由于分数阶微积分的研究大多集中在应用上，所以目前理论界对分数阶导数最感兴趣。
一些基本函数的分数阶导数
对于n≥0的幂函数，其分数阶导数为：
通过检查n = 0的情况，我们可以看到，这意味着常数的分数导数令人惊讶地不为零。f(t)=1的半正则性为常数，值得记忆，由：
对于正弦函数：
这种情况最有力地支持了我们的观点，即分数阶导数可以看作是函数与其导数之间的变换。α的变化只是导致阶段推进，直到在α= 1，我们得到余弦函数。
最后，对于指数函数：
和正弦函数一样，这正是我们所期望的。
解释
现在还不清楚我们应该如何从几何和物理上解释分数算子，就像我们在经典微积分中解释算子一样。这是一个活跃的研究领域，当这个问题得到解决，它可能会在物理和工程领域产生伟大的成果。
同时，最简单的方法是采用Oliver Heaviside在开发运算演算时遇到小数运算符时所采用的方法：仅接受它们本身就是一类对象并且遵循特定的集合规则，如果您碰巧遇到了遵循这些规则的事物，或者需要遵循某些特定规则的事物，那么您就知道要寻找什么。
等时曲线的问题
尼尔斯·阿贝尔(1802-1829)被普遍认为是第一个提出分数微积分基本思想的数学家，当时他正在分析同步性问题。等时曲线问题要求一个人构造一条曲线，其特性是当珠子沿曲线下滑时，到达曲线底部的时间与初始高度无关。
阿贝尔用基本的物理推理得出了以下积分方程，它将到达曲线底部的时间与初始高度联系起来：
其中s为求解该问题的曲线的弧长参数化。我们需要解出ds/dy的方程。我们可以用卷积和拉普拉斯变换来解决这个问题，就像阿贝尔做的那样。或者，我们可以简化所有操作，并认识到右侧的表达式可以除以Γ（1/2）=根号π，以将其转换为半整数。将该等式的两边除以根号π，然后将根号（2g）向左移动，得到T（y0）= T0，因为下降时间相对于初始高度是恒定的：
我们知道如何消去半积分算子。只要对等式两边取半循环，问题就立刻得到解决：
由这个方程(顺便说一句，它是一个摆线)所描述的曲线称为自整时曲线。
这个问题说明了当前情况下分数微积分的主要用例。通常情况下，当我们分析一个系统时我们会碰巧遇到一个数学命题它恰好是一个分数算子因此我们知道我们可以把分数算子的规则应用到那个系统上。
结论
在数学和科学领域取得发现的最好方法之一，就是看看当我们试图让现有的理论在极端或不寻常的情况下发挥作用，从而打破常规时，会发生什么。通常这是行不通的，因为有时规则的存在是有原因的，但有时当我们问一个荒谬的问题时，我们会得到一个很好的答案。和往常一样，我很感激你的指正。