在频域用傅里叶级数展开分析通过PWM实现DAC的纹波系数

背景

时域分析与频域分析是对模拟信号的两个观察面。

时域分析是以时间轴为坐标表示动态信号的关系；频域分析是把信号转变为以频率轴为坐标表示出来。

一般来说，时域的表示较为形象与直观，频域分析则更为简练，剖析问题更为深刻和方便。

目前，信号分析的趋势是从时域向频域发展。然而，它们是互相联系，缺一不可，相辅相成的。

对于这几天提到的PWM滤波电路，如果使用一阶R、C低通滤波电路，

在时域进行分析时，可以通过电容的电压和电流的微分关系得到一阶常微分方程，求解该方程得到电容两端的电压表达式，能比较清楚地分析电路的充、放电过程，计算得到纹波系数；

一阶R、C低通滤波电路

分析得到，纹波系数比较大 ，为了得到小于0.5%的纹波系统，对于频率为1.5KHz的PWM信号，R、C滤波电路的时间常数需要大于100ms左右。

为此，我们再加上一级R、C低通滤波电路以降低纹波，得到如下图所示的二阶R、C低通滤波电路，在时域分析求解微分方程变得非常困难，难以得到电压的解析表达式。

二阶R、C低通滤波电路

因此，我们需要在频率域进行分析。

三角函数的积分公式

有以下三角函数的微、积分公式：

对于频率为某个频率f0的整数倍的两个正弦信号在一个周期内的定积分计算为：

上式中，

，M,N为正整数；

根据三角函数的积化和差公式，得到：

从而，当

当

时 ，

因此，对于一组以频率f的整数倍频率的三角函数，具有正交性特点。

即这组三角函数中任意两个不同函数的乘积在一个周期的积分为0。

PWM信号的傅里叶级数展开

对于周期为T，占空比为

，低电平为0V，高电平为U的PWM信号。

对PWM信号进行偶函数延拓，在一个信号周期内的数学表达式为：

PWM信号的数学表达式

波形如下：

偶函数延拓

可以认为该PWM信号由直流分量，以及频率为PWM频率整数倍的各种余弦波而成。

数学公式表示为：

将上式左右两边同时乘以

，并在PWM的一个周期内进行积分，根据三角函数的正交性，得到：

将u(t)代入，得到：

最终得到PWM信号的傅里叶级展开式为：

（式1)

以占空比为50%，高电平U=1V的PWM为例，其直流成份以及前几次谐波的幅度如下：

n	幅度
0	0.5
1	0.64
2	0
3	-0.21
4	0
5	0.13
6	0
7	-0.09

直流分量以及前7次谐波分量叠加的波形如下：

PWM的直流分量以及前7次谐波分量叠加波形

通过multisim仿真软件的频谱分析仪分析PWM信号的频谱

一阶R、C滤波电路的频率特性

一阶R、C滤波电路

在频域分析上述电路，电阻R1的阻抗为R1，电容C1的阻抗为

输入输出传递函数

幅值增益

当输入U1为式1定义的PWM信号时，输出U2表示为：

为了达到0.1%的精度，考虑第1次谐波分量的幅度与高电平相比<0.01%。

即有：

当

时，该值最大，所以要求：

解得：

=6366'>

当PWM的频率为1.5KHz时，=\frac{6366}{2\pi\times1500}=675mS'>

也就是，比如高电平为1V，频率为1500Hz，占空比为50%的PWM信号，

当R1、C1的时间常数大于675mS时，1次谐波的分量的幅度小于0.1mV。

二阶R、C滤波电路的频率特性

二阶R、C电路

对于二阶R、C电路，取R1=R2=R,C1=C2=C，其传递函数为：

化简得下：

其幅度增益为：

当R*C*w>>1时，

为了达到0.1%的精度，只需要：

=\sqrt{6366}=79'>

当PWM的频率为1.5KHz时，=\frac{79}{2\pi\times1500}=8.38ms'>

可以选择以下参数：

R1=R2=20kΩ，C1=C2=470nF。