【中考专题】费马点，应用举例

关于费马点，可以参考上面文章，此处不再赘述费马点的定义及情形。本文主要以实例讲述费马点在解决数学问题中的应用。

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典例讲解

【例题讲解】1

【解析】

以AB、BP为边分别作等边三角形，那么BP=PP'；可证明△ABP和△A'BP'全等，将AP转为A'P'，那么只要A'、P'、P、C四点共线即可；

其实我们在图二中，连接AC，就可以看出上述的模型。

在求解最小值方面，小编给出两种方法，第一种方法，连接AC，△ACE是含30°的直角三角形，△AA'E是含45°的直角三角形，其中AC的值可求，那么解直角三角形即可；第二种方法，借助等腰△A'BC和15°角，构造含30°角的直角三角形，即Rt△A'BE，直接勾股定理求斜边长度。

【延伸】如果给出AP+BP+CP的最小值，求正方形边长呢？

在上述两种方法下，你是否能算出来呢？

【例题2】2013年北京市朝阳区二模第22题

【解析(1)】

【解析(2)】

对于（2）还可以这样做：

【例题3】2010年福建宁德中考第25题

对(1)和(2)②的解析如下:

对(3)的解析如下:

方法一：连接AC，过点A作AF⊥EC，垂足为点F；

△ACF是含30°的直角三角形，△AEF是含45°的直角三角形，那么解直角三角形即可；

方法二：借助等腰△EBC和15°角，构造含30°角的直角三角形，即Rt△BEF，然后在Rt△CEF中直接勾股定理可求正方形边长。

方法三：(本题借助“胡不归”亦可)

若对此题进行改变，“如图 , 四边形 ABCD 是正方形 , 点 M为对角线 BD (不含B点)上任意一点 , 连接 AM、CM .当 AM+BM+CM的最小值为√(3)+1时 , 求正方形的边长 .”

对于方法三于新华老师指导如下：

随堂检测

【当堂检测】你会了吗？

   2016年辽宁省朝阳市中考数学第24题

典例精讲

【例题4】小编略作修改 

2016年陕西省咸阳市中考数学二模第25题

【解析】（1）由等边三角形的性质和旋转的性质，即可得到△DCQ≌△BCP的条件；

【解析】（2）

将ΔADP绕点A逆时针旋转 60° ,可得 : ΔAFE；由(2)可得 :当点M、P、E、F四点共线时 ,AP+PM+DP的值最小。

∵点 M在边 BC上

∴当FM⊥BC时 , FM的值最小 .

拔高训练

【拔高训练】2010年北京市海淀区二模第25题

【提示】“化繁为简，以简驭繁”，提炼出本质问题，去掉抛物线。