反比例函数的几何性质模型，及其探究证明

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我把所有的演示做到了一起，接下来我们开始由浅入深的探究一下这些性质的由来和关联。

（封面图）

01面积性质

这几个面积性质应该是一目了然，注意动点在两支上的性质是一样的，后面的性质更能题现。

都是面积相等

稍稍的等量代换面积依然相等

02平行关系

如图，双曲线上任意两点（可同支可异支），向坐标轴分别做垂线段，连接垂足（一个属于x轴一个属于y轴）垂足连线平行与两点的连线（后面会用）。这一点可以设两点做标导出成比例即可证明平行（太简单我就不写了）。

如下同支：

如下异支：

通过设点坐标的方法可以更好的体会，为啥在不在同支都是成立的，因为点坐标是不区分再哪一支的。所以得到的成比例是始终成立的，从解析式的角度理解，虽然双曲线是两部分，但是解析式是一样的，所以两支虽型分离其实是一个整体。

03线段关系

031

AD=BC恒成立

第一次看到这个结论我有点不敢相信自己的眼睛，确实有点神奇，还是双曲线上两个点（不论同异支），他们和他们的连线与做标轴交点的距离相等。

证明如下用到了刚才的平行结论了。

由平行显然三个三角形全等，结论成立。（下图为同支）

    由平行显然三个三角形全等，结论成立。（下图为异支）

032

    图中条件：A，M为中心对称点（可看做正比例函数交点），过A做垂线AF，连接FM并延长交双曲线与点N则，结论：AN=NF=FP=PM

简证：（无需辅助线），显然O为AM中点，P为FM中点（中位线），PF=PM。由上边的031得FN=PM。N和P的横坐标互为相反数，N的横坐标为A的一半，AF垂直于Y轴，所以NF=NA。证毕

033

AF垂直于Y轴，做AF的中垂线分别交于点Q，E则AEFQ为菱形。

设A点做标，易得AF，QE互相垂直平分，结论显然成立。

04角度关系

041

如图四边形ABST为平行四边形，则图中所标的同色角相等。

再想他怎么证明的时候我是先想这个平行四边形怎么画出来的。A，B确定这个平四就应该确定了。

证明：如下图A，B分别做垂线，由平行四边形可得，三角形SBE与三角形ATH全等。若设A，B做标，可得HD=EB=x(B),ES=AH=y(A) .

由031证明时候用的全等（下图）得EB=HD=TH，AH=CE=ES。所以三角形BCS，三角形ATD皆为等腰，又因为02平行关系，AB平行于ST，结论成立。

042

ABST为平行四边形则STWV为菱形。

    如下图：由刚才041得ATD，BCS皆为等腰三角形。又因为平四AT平行于SB，AB平行于ST。所以：BVD，ACW皆为等腰，进一步SVT，TSW皆为等腰，且SV与TW平行，所以STWV是菱形。

043

如图A，M为中心对称点，A，B为同支任意两点，连接BM。连直线AB，交点如图，则标同色的角相等

其实就是两个等腰。

证明如下图，取AB中点M，由041得M也是CD中点，在Rt三角形OCD中（斜边中线）显然，MOD，MOC皆为等腰。MO平行于BM（中位线），所以BED，BCZ为等腰，证毕。

可以发现这个方法也能用来做041里的平行四边形。再找B 的中心对称点B'，连接AB'交x轴的点就是平四的另一个顶点。

 032其实也属于这个情况的特殊情况，延长直线后依然是有等腰的只是没画出来。

我们发现02平行，031相等线段在后面的性质证明中发挥了重要作用，所以要主记这两个性质。

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