抛物线上的四点共圆的充要条件

（哪人最多，能看清吗？）

说起二次函数抛物线，那算的上初中最难的一部分，基本压轴题都有它，之前写过一个抛物线的几何性质：

（点击查看）

二次函数图像的几何性质

当然这些性质都不是我发现的，应是于特讲座所讲内容，我从九章群里的文件当中学习到的。今天的故事依然发生在群里。

群里有位老师问了下面的题：

他是认为D是BC中点，但是不知道怎么推到，就把这个当做已知结论来做题了，并且提出下面问题：

证明相似！其实是个原题的加了料的逆命题了，加了直线AC，BG的斜率k互为相反数这一条件。

画图看看，不是相反数的时候，还真不相似！

两直线k互为相反数就相似：

证明离不开解析法啊，因为是函数嘛，下图证明易得相似（SAS八字形相似）：

（不失一般性，不妨以E为原点建系好算）

当然平移依旧成立，就可以得到一般性结论：

但是证明过程好像没提没有用到中点，只用到了斜率互为相反数，所以这个中点其实不是必要条件啊！

再画个图：

这次只让直线斜率互为相反数：

H也可以动动：

这样就得到相似，证明方法同上。

这个八字相似就是四点共圆，所以对角线的斜率互为相反数（或者说与x轴正半轴夹角互补）是四点共圆的充分条件，那是不是必要条件呢？显然是！！

由刚才的证明过程：

横坐标乘积相等，如果四点共圆（八字相似），那必然成比例，可得乘积想等式，那么斜率只能互为相反数（或相等，斜率相等时，那就四个点重合成俩点了没啥意思），乘积才能想等，所以四点共圆可以推导出斜率为相反数，斜率为相反数也可以推导出四点圆。即为充分切必要条件，简称充要条件！！！

当然群里也有老师认识此型，这其实是圆锥曲线的一个共性结论：

（1984年的一篇文章，群友提供，不一定是最早）

简单画画试试，解析法应该好证：

双曲线：

椭圆：

抛物线：就不在额外演示了

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