轻钢建筑设计理论中的有限条理论简介
附录B——有限条理论
附录B——有限条理论
摘录自Schafer B.W.（1998）博士论文的第二章，
《冷轧钢材行为和设计：带有纵向加强肋的要素和构件的分析和数字建模》
⒉冷轧钢材要素和构件弹性屈曲解决方法
冷轧钢材要素和构件常常是十分苗条的。弹性屈曲应力比材料屈服应力低许多是不罕见的。因而，屈曲经常支配着行为。尽管弹性屈曲不充分的描述最终的行为，但它可能是行为表现的重要部分。抛开其它，在这儿应该是采取工程方法，小心的定义弹性屈曲：弹性屈曲涉及到构件里荷载的确定，是在直的和稍微弯曲的构造二者之间平衡。这样的荷载和相应的弯曲构造，形成构件的屈曲荷载（应力）和屈曲模式。
可以用种种方式完成弹性屈曲应力和模式的计算。三个普通的方法：这儿呈现的是有限元分析，有限条分析和古典傅立叶级数解。这些技术并不意味着是唯一可能的解。例如像可以成功使用的边界元素方法就是很少使用的技术，（Elzein 1991）。
详细给出了有限元、有限条和傅立叶级数方法的介绍，因为在这个工作里到处使用这些方法，并且每个都它们自己的特殊优势。对于与众不同的几何参数，或沿着长度有不同的边界条件，通过有限元方法计算弹性屈曲是有利的。另外，当执行非常普通的非线性分析时，对于产生不完整性构造，有限元弹性屈曲解是有用的工具。有限条方法允许有效的解决在它们的横截面里可能有复杂几何参数，但是沿着长度是简单的问题。由于有限条方法在输入上的简单要求，以及求解速度，所以它有助于参数研究。古典傅立叶级数解是有用的，因为它们有潜在产生的闭式解，对于近似设计是优势。
2.1 有限元分析
{在这个摘录里那掉了的部分}
2.2 有限条分析
有限条方法最初是由Y.K Cheung开发的。在这本书（Cheung 1976）里可以找到极好的方法和它的理论的概要。为了理解和预测热辊轧钢材构件以及冷轧钢材构件的行为，G Hancock已经非常扩大了有限条方法的使用。G Hancock采用的劲度矩阵源自Y.K Cheung的书，并且有一些修改，创建了BFINST——通过有限条解决开口薄壁构件的弹性屈曲问题的计算机程序。他的早期工作在I梁（Hancock 1977，1978）领域里，导致接受和了解有限条方法的使用。最近，在冷轧钢材设计书里，明确的显示有限条方法的使用正成为一个设计帮助（Hancock 1994）。
有限条分析提供了方便和有效的确定弹性屈曲应力和相应的模式的途径。在这个部分里，要介绍有限元方法和有限条方法之间基本的差异。接着就是针对有限条的初始刚度和几何参数劲度矩阵。这些矩阵全部是他们提出的，因为他们是程序的写作者。在附录里可以找到程序（CUSTRIP）的细节和核对问题。
2.2.1 介绍和比较有限元方法
可以把有限条方法考虑为有限元方法的特殊应用。二种方法的基本的方法论和理论是同样的。采用形状函数，根据节点自由的程度定义位移范围。因为应变是位移范围的函数，根据节点自由的程度定义应变。采用定义的应变，并构成熟悉的关联（即应力-应变关系），可以得到针对节点自由的程度的刚度系数。
在有限元方法和有限条方法之间唯一的差异是构件的离散化。有限条方法是如此命名的，因为对于模式和纵向方向，只使用单独的要素（条）。在图FLB-2.1里描述了不同的离散化假设的结果。
对于纵向位移范围，有限条的优势和精确性是依赖于形状函数的明智的选择。采用有限条方法，大大减少了来自典型的有限元解所需要的解的全部数量的公式。
图FLB-2.1 有限元和有限条离散化
2.2.2 平板初始劲度矩阵
在这部分提出的劲度矩阵是Y.K Cheung（1976）得出的。这儿介绍的也类似Hancock (1977)和Mulligan(1983)的工作。在图FLB-2.2里显示了条（要素）和它的自由的程度。
图FLB-2.2 条，自由的程度。
初始劲度矩阵的标准的定义是明显来自：
{F}=[K]{d}
或，展开来明确的显示节点力，节点自由程度，和初始劲度子矩阵：[Kuv](平面应力)和[Kwθ](弯曲)：
初始劲度矩阵可以表达为：
在MATLAB（MathWorks Inc，1996）这样的程序里，可以容易的解答这样的特征值问题的解。
[K]和[Kg]是长度a的函数。因此，弹性屈曲应力和相应的屈曲模式也是a的函数。几个长度a的问题都可以求解，并且因此可以确定弹性屈曲应力和模式的完整图。作为构件弹性屈曲荷载和模式，可以考虑这样一个曲线的最小值。程序CUSTRIP产生这样的曲线，这个程序的更多的资料见附录。
2.3 古典解：针对SS板的傅立叶级数方法
{这个摘录拿掉了这部分}
2.4 有限元、有限条和傅立叶级数解比较
在早先的有限元、有限条和傅立叶级数方法的理论讨论里，很少看到给出定性的结果解释，而是直接比较不同的方法。为了解决这个问题，检查了二个例子。第一个涉及带有纵向弯曲腹板加强肋的导轨截面。对于这个例子，有限条方法和有限元方法是有得比较和对照的。第二个例子由隔离的简单支撑平板组成，带有纵向弯曲加强肋。这个例子展现了所有三种方法，特别强调给出傅立叶级数方法。
2.4.1 例子：带有纵向腹板加强肋的导轨截面
选择的问题是在纯弯曲下，带有纵向腹板加强肋的C型截面。构件几何参数是来自密苏里儒纳大学（UMR）进行的系列测试处理，部分标注是B -1a-1 (Phung等人，1978)。插入的图FLA-2.7显示截面的几何参数。观看失败的模式是腹板屈曲和边缘屈服。
2.4.1.1 有限条分析
有限条分析是在密苏里儒纳大学（UMR）B-1a-1部分上处理的。截面是施加纯弯曲，并在不同的长度上分析，在每个长度确定最低的屈曲模式。图FLA-2.7显示截面几何参数和有限条分析结果。在图FLA-2.7里曲线显示典型的有限条结果。在这种情况里，半波长度（1/2λ）近似大于65in。侧向屈曲曲线发生在比局部腹板屈曲低的荷载上。
对于特殊的模式，最小值显示最低的荷载系数。检查少于65in半波长度的有限条结果，存在三个清楚的最小值：在1/2λ=1.60in局部边缘屈曲，并且荷载系数=1.53（即Mcr=1.53My）；1/2λ=8.63in局部腹板屈曲，并且荷载系数=0.69；并且在1/2λ=21.60in扭曲屈曲，并且荷载系数=0.71。
2.4.1.2 有限元分析
有限元方法比较1：
弹性屈曲有限元分析是采用ABAQUS处理的。作为在端部横截面处简单支撑，和在50in长度之上未拉紧，分析由评估密苏里儒纳大学（UMR）B-1a-1组成。一致的节点荷载起源于端部截面，施加等于屈服弯矩这样的纯弯曲弯矩作为参考荷载。
图FLA-2.9-图FLB-2.12为三个有限条分析的最小值显示了预测的屈曲模式形状。结果显示有限元分析和有限条分析预测类似的屈曲荷载系数和模式形状。二种方法报告了0.69的最小荷载系数/特征值（Mcr=0.69My），组成主要的局部腹板屈曲。二种方法也报告了局部边缘屈曲发生在1.53的最小荷载系数/特征值。
在有限元分析结果和有限条结果之间存在差异。在图FLB-2.11里，在1.33的荷载系数/特征值，显示来自有限元分析的屈曲模式。在图FLB-2.11里，在受压边缘里的模式形状是混合在受压边缘里比较长的波长度扭曲屈曲和比较短的波长度局部屈曲之间。结果是一个清楚的不表现这个模式的半波长度。在有限元分析里，混合波长度模式是普通的，但是在给定的有限条公式里不可能发生。
有限元方法比较2：
更进一步突出二种方法之间的差异，并且为了在有限元和有限条屈曲分析之间提供更加直接的比较，进行了第二次测试。在这个测试里，在有限元分析里实际的构件长度研究是各式各样的。为了求解第一模式，这个是类似有限条分析采用的方法。图FLB-2.8显示了二种方法结果。
曲线显示了在不同的长度结构之间分析的差异，以及在不同的半波长度之间分析的差异。例如，与有限条半波长度显示相比，最低的模式看来需要最大的物理长度。另外，有限元分析显示，最低的模式总是减少结构长度——有限条分析的第一模式半波长度曲线不是这样的。来自这个分析的主要的结论是应该考虑假象的第一模式半波长度曲线的“上”部分。将仍然给出前面最低的模式，在物理结构里作为长度增加。
对于有限元方法比较1，采用图FLB-2.8的有限元曲线的最终点上的箱型显示构件长度。
图FLB-2.7密苏里儒纳大学（UMR）B-1a-1有限条结果
图FLB-2.8 有限元和有限条的直接比较
图FLB-2.9 局部腹板屈曲
图FLB-2.10 扭曲屈曲
图FLB-2.11 混合-模式屈曲
图FLB-2.12 局部边缘屈曲
2.4.2 例子：带有纵向加强肋的纯弯曲SS平板
为了比较介绍的分析方法的结果，并且了解如何更好的解释结果，已经为所有三种方法研究选择了例子问题。选择的问题显示在图FLB-2.13里。施加的荷载是ζ=2，或等于和对应的应力。
对于傅立叶级数分析，采用6个横向区间和4个单独的纵向正弦区间。分析是采用在MATLAB 里写的CUPLATE程序处理的，CUPLATE是在附录里讨论。正如在图FLB-2.14里看到的一样，结果呈现在k对比β或“屈曲曲线”里。曲线显示小的β（短板）局部屈曲发生。然而，当β增加时，控制板的全部屈曲。作为参考，没有加强肋的平板的局部屈曲将导致大约24的板屈曲系数（k）。
也可以采用有限条和有限元技术检查例子问题。有限元解是强制模仿有限条分析和傅立叶级数解采用的方法，通过改变长度模式，并且然后为每个长度绘制第一特征值。另外，屈曲荷载解是按照应力或应力对fy的比率给出的。这些数值是转换为平板屈曲系数。采用ABAQUS的有限条解，有限元解，以及傅立叶级数解的最小值都显示在图FLB-2.15里。采用有限条，也能产生类似于傅立叶级数的最小曲线，但是不是这么做的。因此，在β＞1.5之后，超出有限条曲线的分枝不会引起关注。所有三种方法屈服最小值彼此都在5%之内。
图FLB-2.13 例子问题的几何参数
图FLB-2.14 傅立叶分析解
图FLB-2.15 屈曲解的比较
2.4.1 关于比较的结论和注释
对于弹性屈曲应力表现，二个例子的主要的结论是所有三种方法都是适合的。然而，有限元执行是三种方法中最需要体力或耐力的。有限元程序允许在端部，并沿着长度改变支撑条件。另外，几何参数沿着长度没有规则。
有限条执行为检查冷轧钢材构件的行为提供了有用的工具。实际上，由于解是有效的，参数研究检查弹性屈曲应力过程很快。有限条方法也适合解决要素之间的抑制。结果，它提供了检查不同要素的弹性屈曲交互作用的方法，例如弯曲构件的腹板和边缘。
对于解决普通的问题，古典的傅立叶级数解只有有限的用途。当执行它时，只适用于特殊的边界条件。然而，作为设计方法，它可能是理想的。实际上，对于在特色情况下的弹性屈曲应力，该方法可以用来产生限定格式的公式。它是在这个能力里，它的用途是最重要的。