2019高考北京理综第24题雨滴下落阻力问题建议使用球形建模

一、引言

昨天讨论了2019高考北京理综第24题雨滴下落阻力问题，参考答案给出的圆盘弹性建模方式得出的空气阻力表达式与圆盘实际空气阻力表达式存在4倍的差别。这种4倍差别说明，圆盘并不是合适的建模方式。

二、试题回放

图1 试题照片

三、参考答案

图2 参考答案

四、实际情况

根据查到的参考文献，可知圆盘的空气阻力表达式为

（1）

对比（1）式和图2中参考答案给出的空气阻力表达式，可以发现两者有4倍的差别。这说明圆盘建模方式并不合适。

五、球形建模

观察图3所示的球体附近的空气流线图，可以发现气流是贴着球体的表面运动的。

图3 球体附近的流线图

参考这种运动形式，如图4所示，把雨滴的迎风面抽象成一个半径为r的半球体，以半球体为参考系，气流的速度为v。气流遇到球面以后，沿着球面的切线方向以原速率向四周散开。

图4 球形建模

在半球体的外表面取一条与运动方向垂直的环带微元，撞击在环带微元上的气流沿着与环带微元表面相切的方向等速率前进。

规定气流的初速度方向为正方向，以Δt时间内撞击在环带微元上的气流为研究对象，由动量定理可得

（2）

整理（2）式，可以得到环带微元对空气柱的水平作用力的微分为

（3）

对（3）式积分可得

（4）

积分（4）式，并运用牛顿第三定律可得，球体受到的空气阻力表达式为

（5）

六、结论

根据文献检索可知，球体在空气中受到的阻力表达式为

（6）

比较（5）、（6）两式可以发现，球形建模的理论分析结论与实际情况比较接近。这说明对于雨滴来讲，球形建模是比较合适的。