吉林丨关于中考数学经典题型分析——几何动点问题
前言
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吉林全省除了长春的自主命题其他地方的考察都是这套试卷，几何动点借助相似工具是其特色，在长春的中考数学中也可以看到其出题的影子，有时间大家可以学习这部分的内容，尤其对中考有几何动点考察的地区。
1．（2020·吉林）如图，△ABC是等边三角形，AB＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交折线AC﹣CB于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧．设点P的运动时间为x（s）（0＜x＜2），△PQD与△ABC重叠部分图形的面积为y（cm2）．
（1）AP的长为 2x cm（用含x的代数式表示）．
（2）当点D落在边BC上时，求x的值．
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
【分析】
（1）根据动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，可得AP的长为2xcm；
（2）当点D落在BC上时，如图1，BP＝AB﹣AP＝4﹣2x，根据△PQD等边三角形，△ABC是等边三角形，证明△APQ≌△BDP，进而可得x的值；
（3）根据题意分三个部分进行画图说明：①如图2，当0＜x≤2/3时，②如图3，当点Q运动到与点C重合时，当2/3＜x≤1时，如图4，设PD、QD与BC分别相交于点G、H，③如图5，当1＜x＜2时，点Q运动到BC边上，设PD与BC相交于点G，分别表示出y关于x的函数解析式即可．
【解答】
解：（1）∵动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，
∴AP的长为2xcm；
故答案为：2x；
（2）当点D落在BC上时，如图1，
BP＝AB﹣AP＝4﹣2x，
∵PQ⊥AB，
∴∠QPA＝90°，
∵△PQD等边三角形，△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠DPQ＝60°，PQ＝PD，
∴∠BPD＝30°，
∴∠PDB＝90°，
∴PD⊥BC，
∴△APQ≌△BDP（AAS），
∴BD＝AP＝2x，
∵BP＝2BD，
∴4﹣2x＝4x，
解得x＝2/3；
（3）①如图2，当0＜x≤2/3时，
∵在Rt△APQ中，AP＝2x，∠A＝60°，
∴PQ＝AP·tan60°＝2√3x，
∵△PQD等边三角形，
∴S△PQD＝2√3x·3x＝3√3x2cm²，
所以y＝3√3x2；
②如图3，当点Q与点C重合时，
此时CP⊥AB，
所以AP＝1/2AB，即2x═2，
解得x＝1，
所以当2/3＜x≤1时，如图4，设PD、QD与BC分别相交于点G、H，
∵AP＝2x，
∴BP＝4﹣2x，AQ＝2AP＝4x，
∴BG＝BP＝2﹣x
∴PG＝√3BG＝√3（2﹣x），
∴S△PBG＝1/2×BG·PG＝√3/2（2﹣x）²，
∵AQ＝2AP＝4x，
∴CQ＝AC﹣AQ＝4﹣4x，
∴QH＝√3CQ＝√3（4﹣4x），
∴S△QCH＝1/2×CQ·QH＝√3/2（4﹣4x）²，
∵S△ABC＝1/2×1/2×4×2√3＝4√3，
∴S四边形PGHQ＝S△ABC﹣S△PBG﹣S△QCH﹣S△APQ
＝4√3﹣√3/2（2﹣x）²﹣√3/2（4﹣4x）²﹣1/2×1/2×2x×2√3x
＝﹣21√3/2x2+18√3x﹣6√3，
所以y＝﹣21√3/2x2+18√3x﹣6√3；
③如图5，当1＜x＜2时，点Q运动在BC边上，
设PD与BC相交于点G，
此时PG＝BP·sin60°＝（4﹣2x）×√3/2＝√3（2﹣x），
∵PB＝4﹣2x，
∴BQ＝2BP＝2（4﹣2x）＝4（2﹣x），
∴BG＝1/2BP＝2﹣x，
∴QG＝BQ﹣BG＝3（2﹣x），
∴重叠部分的面积为：
S△PQG＝1/2×1.2×PG·QG＝1/2×√3（2﹣x）·3（2﹣x）＝3√3/2（2﹣x）²．
所以y＝3√3/2（2﹣x）²．
综上所述：y关于x的函数解析式为：
当0＜x≤2/3时，y＝3√3x²；
当2/3＜x≤1时，y＝﹣21√3/2x2+18√3x﹣6√3；
当1＜x＜2时，y＝3√3/2（2﹣x）²．
【点评】本题考查了三角形综合题，解决本题的关键是图形面积的计算．
2．（2019·吉林）如图，在矩形ABCD中，AD＝4cm，AB＝3cm，E为边BC上一点，BE＝AB，连接AE．动点P、Q从点A同时出发，点P以√2cm/s的速度沿AE向终点E运动；点Q以2cm/s的速度沿折线AD﹣DC向终点C运动．设点Q运动的时间为x（s），在运动过程中，点P，点Q经过的路线与线段PQ围成的图形面积为y（cm²）．
（1）AE＝ 3√2 cm，∠EAD＝ 45 °；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当PQ＝5/4cm时，直接写出x的值．
【分析】
（1）由勾股定理可求AE的长，由等腰三角形的性质可求∠EAD的度数；
（2）分三种情况讨论，由面积和差关系可求解；
（3）分三种情况讨论，由勾股定理可求解．
【解答】
解：（1）∵AB＝3cm，BE＝AB＝3cm，
∴AE＝√AB²+√BE²=3√2cm，∠BAE＝∠BEA＝45°
∵∠BAD＝90°
∴∠DAE＝45°
故答案为：3√2，45
（2）当0＜x≤2时，如图，过点P作PF⊥AD，
∵AP＝√2x，∠DAE＝45°，PF⊥AD
∴PF＝x＝AF，
∴y＝S△PQA＝1/2×AQ×PF＝x²，
（2）当2＜x≤3时，如图，过点P作PF⊥AD，
∵PF＝AF＝x，QD＝2x﹣4
∴DF＝4﹣x，
∴y＝1/2x²+1/2（2x﹣4+x）（4﹣x）＝﹣x²+8x﹣8
当3＜x≤7/2时，如图，点P与点E重合．
∵CQ＝（3+4）﹣2x＝7﹣2x，CE＝4﹣3＝1cm
∴y＝1/2（1+4）×3﹣1/2（7﹣2x）×1＝x+4
（3）当0＜x≤2时
∵QF＝AF＝x，PF⊥AD
∴PQ＝AP
∵PQ＝cm
∴√2x＝
∴x＝5√2/8
当2＜x≤3时，过点P作PM⊥CD
∴四边形MPFD是矩形
∴PM＝DF＝4﹣x，MD＝PF＝x，
∴MQ＝x﹣（2x﹣4）＝4﹣x
∵MP²+MQ²＝PQ²，
∴（4﹣x）²+（4﹣x）²＝ 25/16
∴x＝4±5√2/8＞3（不合题意舍去）
当3＜x≤7/2时，
∵PQ²＝CP²+CQ²，
∴25/16＝1+（7﹣2x）²，
∴x＝25/8
综上所述：x＝25/8或5√2/8
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
3．（2018·吉林）如图，在矩形ABCD中，AB＝2cm，∠ADB＝30°．P，Q两点分别从A，B同时出发，点P沿折线AB﹣BC运动，在AB上的速度是2cm/s，在BC上的速度是2√3cm/s；点Q在BD上以2cm/s的速度向终点D运动，过点P作PN⊥AD，垂足为点N．连接PQ，以PQ，PN为邻边作▱PQMN．设运动的时间为x（s），▱PQMN与矩形ABCD重叠部分的图形面积为y（cm²）
（1）当PQ⊥AB时，x＝ 2/3s ；
（2）求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
（3）直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分时，直接写出x的值．
【分析】
（1）当PQ⊥AB时，BQ＝2PB，由此构建方程即可解决问题；
（2）分三种情形分别求解即可解决问题；
（3）分两种情形分别求解即可解决问题；
【解答】
解：（1）当PQ⊥AB时，BQ＝2PB，
∴2x＝2（2﹣2x），
∴x＝2/3s．
故答案为2/3s．
（2）①如图1中，当0＜x≤2/3时，重叠部分是四边形PQMN．
y＝2x×√3x＝2√3x²．
②如图2中，当2/3＜x≤1时，重叠部分是四边形PQEN．
y＝1/2（2﹣x+2x）×√3x＝√3/2x²+√3x
③如图3中，当1＜x＜2时，重叠部分是四边形PNEQ．
y＝1/2×（2﹣x+2）×[√3x﹣2√3（x﹣1）]＝√3/2x²﹣3√3x+4√3；
综上所述，y＝．
（3）①如图4中，当直线AM经过BC中点E时，满足条件．
则有：tan∠EAB＝tan∠QPB，
∴√3/2＝√3x/(2-2x-x)
解得x＝2/5．
②如图5中，当直线AM经过CD的中点E时，满足条件．
此时tan∠DEA＝tan∠QPB，
∴2√3/1＝√3x/(2-2x-x)，
解得x＝4/7
综上所述，当x＝2/5或4/7时，直线AM将矩形ABCD的面积分成1：3两部分．
【点评】本题考查四边形综合题、矩形的性质平行四边形的性质、锐角三角函数、解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会用方程的思想解决问题，属于中考压轴题．
4．（2017·吉林）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AB＝4cm．点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB向终点B运动．过点P作PQ⊥AB交折线ACB于点Q，D为PQ中点，以DQ为边向右侧作正方形DEFQ．设正方形DEFQ与△ABC重叠部分图形的面积是y（cm²），点P的运动时间为x（s）．
（1）当点Q在边AC上时，正方形DEFQ的边长为 x cm（用含x的代数式表示）；
（2）当点P不与点B重合时，求点F落在边BC上时x的值；
（3）当0＜x＜2时，求y关于x的函数解析式；
（4）直接写出边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围．
【分析】
（1）根据已知条件得到∠AQP＝45°，求得PQ＝AP＝2x，由于D为PQ中点，于是得到DQ＝x；
（2）如图①，延长FE交AB于G，由题意得AP＝2x，由于D为PQ中点，得到DQ＝x，求得GP＝2x，列方程于是得到结论；
（3）如图②，当0＜x≤4/5时，根据正方形的面积公式得到y＝x²；如图③，当4/5＜x≤1时，过C作CH⊥AB于H，交FQ于K，则CH＝1/2AB＝2，根据正方形和三角形面积公式得到y＝﹣23/2x²+20x﹣8；如图④，当1＜x＜2时，PQ＝4﹣2x，根据三角形的面积公式得到结论；
（4）当Q与C重合时，E为BC的中点，得到x＝1，当Q为BC的中点时，BQ＝√2，得到x＝3/2，于是得到结论．
【解答】
解：（1）∵∠ACB＝90°，∠A＝45°，PQ⊥AB，
∴∠AQP＝45°，
∴PQ＝AP＝2x，
∵D为PQ中点，
∴DQ＝x，
故答案为：x；
（2）如图①，延长FE交AB于G，由题意得AP＝2x，
∵D为PQ中点，
∴DQ＝x，
∴GP＝x，
∴2x+x+2x＝4，
∴x＝4/5；
（3）如图②，当0＜x≤4/5时，y＝S正方形DEFQ＝DQ²＝x²
∴y＝x²；
如图③，当4/5＜x≤1时，过C作CH⊥AB于H，交FQ于K，则CH＝1/2AB＝2，
∵PQ＝AP＝2x，CK＝2﹣2x，
∴MQ＝2CK＝4﹣4x，FM＝x﹣（4﹣4x）＝5x﹣4，
∴y＝S正方形DEFQ﹣S△MNF＝DQ²﹣1/2FM²，
∴y＝x²﹣1/2（5x﹣4）²＝﹣23/2x²+20x﹣8，
∴y＝﹣23/2x²+20x﹣8；
如图④，当1＜x＜2时，PQ＝4﹣2x，
∴DQ＝2﹣x，
∴y＝S△DEQ＝1/2DQ²，
∴y＝1/2（2﹣x）²，
∴y＝1/2x²﹣2x+2；
（4）当Q与C重合时，E为BC的中点，
即2x＝2，
∴x＝1，
当Q为BC的中点时，BQ＝√2，
PB＝1，
∴AP＝3，
∴2x＝3，
∴x＝3/2，
∴边BC的中点落在正方形DEFQ内部时x的取值范围为：1＜x＜3/2．
【点评】本题考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，图形面积的计算，正确的作出图形是解题的关键．
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