沈阳:关于几何动点知识点解决地区中考数学压轴题
沈阳中考中的几何动点也是全国的典范,细致分析,东北三省对于这个考点情有独钟,所以大家可以结合起来一起看,姜老师前面的图文讲解过几何动点存在性问题,大家可以翻阅学习。
试题演练
1.(2020·沈阳)如图,在平面直角坐标系中,△AOB的顶点O是坐标原点,点A的坐标为(4,4),点B的坐标为(6,0),动点P从O开始以每秒1个单位长度的速度沿y轴正方向运动,设运动的时间为t秒(0<t<4),过点P作PN∥x轴,分别交AO,AB于点M,N.
(1)填空:AO的长为 4√2 ,AB的长为 2√5 ;
(2)当t=1时,求点N的坐标;
(3)请直接写出MN的长为 (12-3t)/2(用含t的代数式表示);
(4)点E是线段MN上一动点(点E不与点M,N重合),△AOE和△ABE的面积分别表示为S1和S2,当t=4/3时,请直接写出S1·S2(即S1与S2的积)的最大值为 16 .
【分析】
(1)利用两点间距离公式求解即可.
(2)求出直线AB的解析式,利用待定系数法即可解决问题.
(3)求出PN,PM即可解决问题.
(4)如图,当t=4/3时,MN=(12-3×4/3)/2=4,设EM=m,则EN=4﹣m.构建二次函数利用二次函数的性质即可解决问题.
【解答】
解:(1)∵A(4,4),B(6,0),
∴OA=√4²+√4²=4√2,AB=√(6-4)²+√4²=2√5
故答案为4√2,2√5.
(2)设直线AB的解析式为y=kx+b,将A(4,4),B(6,0)代入得到,4k+b=4,6k+b=0
解得k=-2,b=12
∴直线AB的解析式为y=﹣2x+12,
由题意点N的纵坐标为1,
令y=1,则1=﹣2x+12,
∴x=11/2,
∴N(11/2,1).
(3)当0<t<4时,令y=t,代入y=﹣2x+12,得到x=(12-t)/2,
∴N((12-t)/2,t),
∵∠AOB=∠AOP=45°,∠OPM=90°,
∴OP=PM=t,
∴MN=PN﹣PM=(12-t)/2﹣t=(12-3t)/2.
故答案为(12-3t)/2..
(4).如图,当t=4/3时,MN=(12-3×4/3)/2=4,设EM=m,则EN=4﹣m.
由题意S1·S2=1/2·m×4×1/2(4﹣m)×4=﹣4m²+16m=﹣4(m﹣2)²+16,
∵﹣4<0,
∴m=2时,S1·S2有最大值,最大值为16.
故答案为16.
【点评】
本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质,一次函数的性质等知识,解题的关键是学会利用参数解决问题,学会构建二次函数解决最值问题,属于中考压轴题.
2.(2019·沈阳)在平面直角坐标系中,直线y=kx+4(k≠0)交x轴于点A(8,0),交y轴于点B.
(1)k的值是 ﹣1/2 ;
(2)点C是直线AB上的一个动点,点D和点E分别在x轴和y轴上.
①如图,点E为线段OB的中点,且四边形OCED是平行四边形时,求▱OCED的周长;
②当CE平行于x轴,CD平行于y轴时,连接DE,若△CDE的面积为33/4,请直接写出点C的坐标.
【分析】
(1)根据点A的坐标,利用待定系数法可求出k值;
(2)①利用一次函数图象上点的坐标特征可得出点B的坐标,由平行四边形的性质结合点E为OB的中点可得出CE是△ABO的中位线,结合点A的坐标可得出CE的长,在Rt△DOE中,利用勾股定理可求出DE的长,再利用平行四边形的周长公式即可求出▱OCED的周长;
②设点C的坐标为(x,﹣1/2x+4),则CE=|x|,CD=|﹣1/2x+4|,利用三角形的面积公式结合△CDE的面积为33/4可得出关于x的方程,解之即可得出结论.
【解答】
解:(1)将A(8,0)代入y=kx+4,得:0=8k+4,
解得:k=﹣1/2.
故答案为:﹣1/2.
(2)①由(1)可知直线AB的解析式为y=﹣1/2x+4.
当x=0时,y=﹣1/2x+4=4,
∴点B的坐标为(0,4),
∴OB=4.
∵点E为OB的中点,
∴BE=OE=1/2OB=2.
∵点A的坐标为(8,0),
∴OA=8.
∵四边形OCED是平行四边形,
∴CE∥DA,
∴BC/AC=BE/OE=1
∴BC=AC,
∴CE是△ABO的中位线,
∴CE=1/2OA=4.
∵四边形OCED是平行四边形,
∴OD=CE=4,OC=DE.
在Rt△DOE中,∠DOE=90°,OD=4,OE=2,
∴DE=√OD²+√OE²=2√5
∴C平行四边形OCED=2(OD+DE)=2(4+2√5)=8+4√5.
②设点C的坐标为(x,﹣1/2x+4),则CE=|x|,CD=|﹣1/2x+4|,
∴S△CDE=1/2CD·CE=|﹣1/4x²+2x|=33/4,
∴x²﹣8x+33=0或x²﹣8x﹣33=0.
方程x²﹣8x+33=0无解;
解方程x²﹣8x﹣33=0,得:x1=﹣3,x2=11,
∴点C的坐标为(﹣3,11/2)或(11,﹣3/2).
【点评】
本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质、勾股定理、平行四边形的周长、三角形的面积、解一元二次方程以及三角形的中位线,解题的关键是:(1)根据点的坐标,利用待定系数法求出k值;(2)①利用勾股定理及三角形中位线的性质,求出CE,DE的长;②利用三角形的面积公式结合△CDE的面积为33/4,找出关于x的方程.
3.(2018·沈阳)如图,在平面直角坐标系中,点F的坐标为(0,10).点E的坐标为(20,0),直线l1经过点F和点E,直线l1与直线l2:y=3/4x相交于点P.
(1)求直线l1的表达式和点P的坐标;
(2)矩形ABCD的边AB在y轴的正半轴上,点A与点F重合,点B在线段OF上,边AD平行于x 轴,且AB=6,AD=9,将矩形ABCD沿射线FE的方向平移,边AD始终与x轴平行.已知矩形ABCD以每秒√5个单位的速度匀速移动(点A移动到点E时停止移动),设移动时间为t秒(t>0).
①矩形ABCD在移动过程中,B、C、D三点中有且只有一个顶点落在直线l1或l2上,请直接写出此时t的值;
②若矩形ABCD在移动的过程中,直线CD交直线l1于点N,交直线l2于点M.当△PMN的面积等于18时,请直接写出此时t的值.
【分析】
(1)利用待定系数法求解析式,函数关系式联立方程求交点;
(2)①分析矩形运动规律,找到点D和点B分别在直线l2上或在直线l1上时的情况,利用AD、AB分别可以看成图象横坐标、纵坐标之差构造方程求点A坐标,进而求出AF距离;
②设点A坐标,表示△PMN即可.
【解答】
解:(1)设直线l1的表达式为y=kx+b.
∵直线l1过点F(0,10),E(20,0),
∴b=10,20k+b=0
解得k=-1/2,b=10
∴直线l1的表达式为y=﹣1/2x+10.
求直线l1与直线l2 交点,得
3/4x=﹣1/2x+10,
解得x=8,
y=3/4×8=6,
∴点P坐标为(8,6);
(2)①显然,C点不能落在直线l2上.
∵直线AC的斜率>直线EF的斜率,
∴点C不能落在直线l1上.
∴矩形ABCD在移动过程中,B、C、D三点中有且只有一个顶点落在直线l1或l2上,分两种情况:
如图,当点D在直线上l2时,点B不在l2上.
∵AD=9,
∴点D与点A的横坐标之差为9,
∴将直线l1与直线l2 的解析式变为
x=20﹣2y,x=4/3y,
∴4/3y﹣(20﹣2y)=9,
解得y=87/10,
则点A的坐标为:(13/5,87/10),
则AF=√(13/5)²+√(10-87/10)²=13√5/10
∵点A速度为每秒√5个单位,
∴t=13/10;
如图,当点B在l2 直线上时,点D不在l2上.
∵AB=6,
∴点A的纵坐标比点B的纵坐标高6个单位,
∴直线l1的解析式减去直线l2的解析式得
﹣1/2x+10﹣3/4x=6,
解得x=16/5,
则点A坐标为(16/5,42/5),
则AF=√(16/5)²+√(10-42/5)²=8√5/5
∵点A速度为每秒√5个单位,
∴t=8/5,
故t值为13/10或8/5;
②如图,
设直线AB交l2于点H.
设点A横坐标为a,则点D横坐标为a+9,
由①中方法可知:MN=,5/4a+5/4
此时点P到MN距离为:
a+9﹣8=a+1.
∵△PMN的面积等于18,
∴1/2×(5/4a+5/4)×(a+1)=18
解得a1=(12√5)/5-1 a2=﹣(12√5)/5-1(舍去),
∴AF=6﹣√5-2,
则此时t为6√5/5-1/2
当t=6√5/5-1/2时,△PMN的面积等于18.
【点评】
本题是代数几何综合题,应用待定系数法和根据函数关系式来表示点坐标,涉及到了分类讨论思想和数形结合思想.
4.(2017·沈阳)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC的顶点O是坐标原点,点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,8),点C的坐标为(﹣2√5,4),点M,N分别为四边形OABC边上的动点,动点M从点O开始,以每秒1个单位长度的速度沿O→A→B路线向终点B匀速运动,动点N从O点开始,以每秒两个单位长度的速度沿O→C→B→A路线向终点A匀速运动,点M,N同时从O点出发,当其中一点到达终点后,另一点也随之停止运动,设动点运动的时间t秒(t>0),△OMN的面积为S.
(1)填空:AB的长是 10 ,BC的长是 6 ;
(2)当t=3时,求S的值;
(3)当3<t<6时,设点N的纵坐标为y,求y与t的函数关系式;
(4)若S=48/5,请直接写出此时t的值.
【分析】
(1)利用勾股定理即可解决问题;
(2)如图1中,作CE⊥x轴于E.连接CM.当t=3时,点N与C重合,OM=3,易求△OMN的面积;
(3)如图2中,当3<t<6时,点N在线段BC上,BN=12﹣2t,作NG⊥OB于G,CF⊥OB于F.则F(0,4).由GN∥CF,推出BN/BC=BG/BF,即(12-2t)/6=BG/4,可得BG=8﹣t,由此即可解决问题;
(4)分三种情形①当点N在边长上,点M在OA上时.②如图3中,当M、N在线段AB上,相遇之前.作OE⊥AB于E,则OE=OB·OA/AB=24/5,列出方程即可解决问题.③同法当M、N在线段AB上,相遇之后,列出方程即可;
【解答】
解:(1)在Rt△AOB中,∵∠AOB=90°,OA=6,OB=8,
∴AB=√OA²+√OB²=√6²+√8²=10
BC=√(2√5)²+√4²=6
故答案为10,6.
(2)如图1中,作CE⊥x轴于E.连接CM.
∵C(﹣2√5,4),
∴CE=4OE=2√5,
在Rt△COE中,OC=√OE²+√CE²=√(2√5)²+√4²=6
当t=3时,点N与C重合,OM=3,
∴S△ONM=1/2·OM·CE=1/2×3×4=6,
即S=6.
(3)如图2中,当3<t<6时,点N在线段BC上,BN=12﹣2t,作NG⊥OB于G,CF⊥OB于F.则F(0,4).
∵OF=4,OB=8,
∴BF=8﹣4=4,
∵GN∥CF,
∴BN/BC=BG/BF,即(12-2t)/6=BG/4
∴BG=8﹣4/3t,
∴y=OB﹣BG=8﹣(8﹣4/3t)=4/3t.
(4)①当点N在边长上,点M在OA上时,1/2·4/3t·t=48/5,
解得t=6√10 /5(负根已经舍弃).
②如图3中,当M、N在线段AB上,相遇之前.
作OE⊥AB于E,则OE=OB·OA/AB=24/5
由题意1/2[10﹣(2t﹣12)﹣(t﹣6)]·24/5=48/5,
解得t=8,
同法当M、N在线段AB上,相遇之后.
由题意1/2·[(2t﹣12)+(t﹣6)﹣10]·24/5=48/5,
解得t=32/3,
综上所述,若S=48/5,此时t的值8s或32/3s或6√10 /5s.
【点评】
本题考查四边形综合题、平行线分线段成比例定理、勾股定理、解直角三角形等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,学会用分类讨论的思想思考问题,属于中考压轴题.
5.(2016·沈阳)如图,在平面直角坐标系中,△AOB的顶点O为坐标原点,点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(0,1),点C为边AB的中点,正方形OBDE的顶点E在x轴的正半轴上,连接CO,CD,CE.
(1)线段OC的长为 √17/2 ;
(2)求证:△CBD≌△COE;
(3)将正方形OBDE沿x轴正方向平移得到正方形O1B1D1E1,其中点O,B,D,E的对应点分别为点O1,B1,D1,E1,连接CD1,CE1,设点E1的坐标为(a,0),其中a≠2,△CD1E1的面积为S.
①当1<a<2时,请直接写出S与a之间的函数表达式;
②在平移过程中,当S=1/4时,请直接写出a的值.
【分析】
(1)由点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(0,1),利用勾股定理即可求得AB的长,然后由点C为边AB的中点,根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,可求得线段OC的长;
(2)由四边形OBDE是正方形,直角三角形斜边的中线等于斜边的一半,易得BD=OE,BC=OC,∠CBD=∠COE,即可证得:△CBD≌△COE;
(3)①首先根据题意画出图形,然后过点C作CH⊥D1E1于点H,可求得△CD1E1的高与底,继而求得答案;
②分别从1<a<2与a>2去分析求解即可求得答案.
【解答】
解:(1)∵点A的坐标为(4,0),点B的坐标为(0,1),
∴OA=4,OB=1,
∵∠AOB=90°,
∴AB=√OA²+√OB²=√17
∵点C为边AB的中点,
∴OC=1/2AB=√17/2;
故答案为:√17/2.
(2)证明:∵∠AOB=90°,点C是AB的中点,
∴OC=BC=1/2AB,
∴∠CBO=∠COB,
∵四边形OBDE是正方形,
∴BD=OE,∠DBO=∠EOB=90°,
∴∠CBD=∠COE,
在△CBD和△COE中,
(CB=CO,∠CBD=∠COE,BD=OE)
∴△CBD≌△COE(SAS);
(3)①解:过点C作CH⊥D1E1于点H,
∵C是AB边的中点,
∴点C的坐标为:(2,1/2)
∵点E1的坐标为(a,0),1<a<2,
∴CH=2﹣a,
∴S=1/2D1E1·CH=1/2×1×(2﹣a)=﹣1/2a+1;
②当1<a<2时,S=﹣1/2a+1=1/4,
解得:a=3/2;
当a>2时,同理:CH=a﹣2,
∴S=1/2D1E1·CH=1/2×1×(a﹣2)=1/2a﹣1,
∴S=1/2a﹣1=1/4,
解得:a=5/2,
综上可得:当S=1/4时,a=3/2或5/2.
【点评】
此题属于四边形的综合题.考查了正方形的性质、直角三角形的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质以及三角形面积问题.注意掌握辅助线的作法,注意掌握分类讨论思想的应用是解此题的关键.
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