邹生书——湖北十一校联考抛物大题的解法与极点极线背景

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湖北十一校联考抛物线大题的解法

与极点极线背景

湖北省阳新县高级中学     邹生书

21.已知动点P在x轴上及其上方，且点P到点F(0,1)的距离比到x轴的距离大1.

（1）求求点P的轨迹C的方程；

（2）若点Q是直线y=x-4上任意一点，过点Q作点P的轨迹C的两条切线QA,QB，其中A,B为切点，试证明直线AB恒过一定点，并求出该点的坐标。

解析：（1）法1（参考答案解法）

法2：设点P(x,y)依题意点P到点F(0,1)的距离与它比到直线y=-1轴的距离相等，所以点P的轨迹是以点F为焦点以直线y=-1为准线的一条抛物线，其方程为x²=4y.     

（2）法1（参考答案解法）

点评：比较解法2和解法3知，解法2显得曲折迂回，似乎走了弯路。

法4：由圆锥曲线极点极线的知识知，若直线AB过定点M(x₀,y₀)，则抛物线在点A,B处的两条切线的交点Q必在点M所对应的极线x₀x=2(y+y₀)上，依题意点Q在直线y=x-4上，所以直线y=x-4就是点M所对应的极线，由y=x-4得2x=2(y+4),比较得x₀=2,y₀=4所以直线AB过定点(2,4).

另解：也可由x₀x=2(y+y₀)得y=0.5x₀x-y_0，与y=x-4比较得x₀=2,y₀=4，所以直线AB过定点(2,4).