基于传递函数分析的高速铁路自耦变压器绕组轴向移位故障诊断研究
AT(Autotransformer)供电方式是目前高速铁路的主要供电方式，其拥有供电距离长、对沿线通信线路干扰小等特点，自耦变压器是AT供电系统最主要的设备之一[1]。由于高速铁路一般采用高架桥设计，接触网在高架桥上受雷击、异物接触等影响，会引起短路跳闸事故，而短路电流冲击是导致变压器绕组故障的主要原因。其中，轴向移位是常见的绕组故障之一，进而引起绕组间漏磁的增加及磁通分布不对称，降低了现场变压器运行的可靠性，从而影响牵引供电系统的安全运行[2-3]。
频率响应分析(Frequency Response Analysis，FRA)法所需的测量仪器简便，测试灵敏度高，是目前现场测试变压器绕组是否存在故障的主要方法[4-5]。频率响应法是在绕组一端施加频率连续变化的正弦信号，在另一端测量信号并计算得到频率响应曲线[6]，目前利用FRA法进行绕组变形诊断时，都是通过故障前后或相间绕组的幅频曲线对比得出结论[7]，未考虑系统的相频特性。由FRA法的测试原理可知，其本质是利用频响曲线表征系统传递函数的变化，近年来的研究表明，传递函数的相位特性也可以反映绕组状态[8]，为此国内外学者对通过频率响应曲线幅值、相位特征获取更为丰富的诊断信息进行了大量的研究。昆士兰大学的学者通过FRA曲线中的幅值和相位值将FRA曲线转换成奈奎斯特图，并通过仿真和试验计算了不同情况下奈奎斯特曲线的变化规律，研究故障与曲线特征的关系[9]；科廷大学的学者基于FRA曲线幅值和相位值绘制了极坐标图，并研究利用图像分布特征进行故障诊断[10-11]。上述工作丰富了频率响应曲线的特征信息，促进了绕组变形诊断评估技术的发展，但奈奎斯特图、极坐标图只是通过频率响应曲线转换坐标而得到，本质上仍是对频率响应曲线进行直接分析，且分析指标仍为偏移量特征，较为单一。由于缺乏一些更深层次的分析方法，基于FRA法的绕组变形诊断方法研究进展缓慢。近年来，通过变压器绕组频响数据辨识传递函数的方法受到国内外学者的关注，传递函数能够直接地反映绕组等效参数电路与物理结构之间的关联性，其系数和零极点能映射绕组的机械状态。分析传递函数的变化可以判断绕组变形，为频率响应分析法增添更深层次、丰富的评价信息。
图1 自耦变压器辐向分裂绕组
在频响曲线拟合方法上，上海交大的学者最先通过普通多项式进行最小二乘辨识，但随着曲线拟合阶次和频率点数的增加，该方法可能出现病态方程组，降低了辨识精度[12]；武汉大学的学者将普通多项式替换成正交多项式，从而防止了病态方程组的出现，增加了辨识的精度[13]。但应用在高阶系统上时，上述两类方法的辨识效果仍旧不够理想，而且目前大多数基于传递函数的诊断均是针对双绕组变压器，高低压绕组间是相互独立的。而高铁自耦变压器绕组采用了辐向分裂式结构(见图1)，其中O、A、B分别为绕组接线端口，O端口与轨道相连，A端口与接触网连接，B端口与馈线连接，各分裂绕组(串联绕组1、2)在变压器的内部连接，无法在外侧直接测得各个分裂绕组的FRA曲线，这使得内部传递函数更为复杂，增大了传递函数辨识的难度。而矢量匹配法拥有较高的计算效率和计算精度，在电力系统频率特性拟合中应用较为广泛[14]，该方法将普通多项式代替为有理基函数进行拟合，可以显著地提高拟合的精度，为本文自耦变压器绕组传递函数的高精度辨识提供了较好的方案，也为基于传递函数进行绕组状态的诊断提供了较为可靠的基础。
近年，材料价格波动较大，为避免由此造成承包人管理费、利润等的“水涨船高”，带动工程造价的“虚涨”，在概（估）算中对主要材料进行限价计费有一定的必要性和合理性。但对由此产生的价差处理方式，国家或行业主管部门未作统一规定，造成计价不一。有的省（市）规定列入工程单价税金之前，有的审查部门则要求列入独立费用。
本文以一台实际自耦变压器为研究对象，基于验证的分布式集总参数电路模型，计算得到了正常和轴向移位故障下的绕组频率响应幅频和相频曲线，并利用快速松弛矢量匹配法直接拟合计算得到高精度的传递函数多项式，通过计算得到绕组传递函数系数序列的Kendall Rank相关系数，提出了自耦变压器分裂式绕组轴向移位故障诊断方法，最后通过实际案例验证了所提方法的有效性，为现场自耦变压器的绕组状态分析提供了参考。
1 变压器模型
本文以一台高速铁路2×27.5 kV的单相自耦变压器为研究对象，由于牵引供电系统通常规定自耦变压器27.5 kV侧的阻抗为0.45 Ω，该值较常规电力变压器标准阻抗低，因此自耦变压器一般采用辐向绕组分裂结构以满足阻抗要求[15]。
图2 自耦变压器结构及频率响应测试
自耦变压器中间绕组为公共绕组，串联绕组由2个分裂绕组构成，分别安置在公共绕组两侧，每个绕组均由68个普通连续式线饼组成。在现场开展频响测试时，本文采取了图2中的接线方式，该方法从自耦变压器绕组A端口注入扫频正弦信号Uin，在B端口测量电压信号Uout，Rm为测量电阻，通过计算式( 1 )得到所有绕组的传递函数H(f)[15]，该测试方式能直接测得3个绕组的频率响应曲线，反映整个系统的传递函数特性。
《关于推动传统出版和新兴出版融合发展的指导意见》（新广发〔2015〕32号）的发布，标志着国家开始重视出版融合发展，支持力度逐年加大，积极鼓励传统期刊企业试水，探索出版媒体融合新模式。2017年，随着国家政策的大力倡导，以及出版单位的积极努力，开拓融合出版发展的主体应运而生，无论是国家认证的融合发展实验室，还是各主体自身的融合发展研发部门，甚至是企业的单个融合发展项目，都纷纷涌现出来。互联网数字出版模式已基本形成，并培养出大量极具粘性的用户群（具备互联网使用习惯）。
( 1 )
变压器在进行FRA测试时，绕组可以等效成图3中的集总参数电路模型[16-18]，模型以绕组双饼为电路单元，分别考虑了双饼的纵向等值电容(Cs)、绕组对地电容(Cg1、Cg2)、各绕组间的耦合电容(Ck1、Ck2)、电容的并联电导(Gs、Gg1、Gg2、Gk1、Gk2)、电阻(R)、自感(L)、互感(M)及各个错位线饼间的电容(Cm)。
这是入秋之后，第一个不下雨的黄昏。敬老院里，几个最活跃的老头，他们提着芭蕉扇和马扎子出了院门，坐在湖堤上的乌桕树下正准备闲侃。还没等人们想好话题，老冬瓜气喘吁吁地提着马扎子赶来了。湖面上吹过来带着鱼腥味和水草香的凉风。你们等着瞧吧，不是我胡说，咱敬老院用不了多久要发生杀人的命案。老鳜鱼这狗日的疯了，他要杀人。老冬瓜说这句话的时候，一片杨树叶随着野鸭子飞逝的暗影，在每个老人的脸上漂移不定。空气的颜色浑浊得像一坛陈年老酒。
图3 变压器集总参数电路模型
为有效计算电路模型中的参数，基于有限元分析软件构建了自耦变压器三维有限元仿真模型,见图4[19]。其中电容计算结果见表1，Ck1、Ck2分别为公共绕组与串联绕组1、串联绕组2之间同一高度线饼之间的电容；Cg为绕组对地电容，因此通过有限元模型计算得到矩阵。
表1 电容计算结果
绕组Cs/pFCg/pFCk1/pFCk2/pF串联160422公共836—7053串联235248
绕组电感随频率的增加而降低，这是由于随激励频率增加铁心涡流效应更为明显，同时也进一步降低铁心导磁能力[20]，本文通过与测试频率响应曲线的对比，通过主要谐振点处匹配，得到铁心磁导率随频率变化的趋势，并计算得到电感矩阵随频率变化的系数，见图5。
图4 自耦变压器三维有限元模型
图5 电感矩阵随频率变化系数
由于本文自耦变压器采用半硬自粘换位导线，可降低径向变形的概率，但绕组轴向移位仍然难以避免，为此针对串联绕组2、公共绕组、串联绕组1(根据图1，以各绕组对应的端口对绕组进行标识，分别简称为O、A、B绕组)上分别发生1%、3%、5%轴向移位故障情况下的FRA曲线进行研究，轴向移位的故障程度定义为
( 2 )
式中：Δh为绕组移位距离；h为绕组整体高度。
根据图3中的集总参数电路模型，在数值计算软件中建立状态空间模型计算频率响应，该模型的可行性已在文献[15, 21]中通过了验证。通过有限元模型，计算得到了各绕组发生移位时的等效电路参数，并代入状态空间模型中计算O、A、B绕组移位时的幅频和相频曲线图，见图6～图8。由上述几个图可以看到不同的绕组发生移位时，幅频和相频曲线均发生了显著的偏移，若能将幅频和相频曲线特征结合，诊断结果将更为准确。
图6 O绕组轴向移位时频率响应曲线
图7 A绕组轴向移位时频率响应曲线
图8 B绕组轴向移位时频率响应曲线
2 矢量匹配与传递函数计算
为了能将绕组频率响应幅频和相频曲线相结合，本文拟将两者结合用于推导出系统传递函数，并通过比较传递函数变化特征来反映绕组的变化特征。
2.1 矢量匹配
为进一步提高传递函数计算的精度，本文采用快速松弛矢量匹配方法进行传递函数计算[22-23]，其中频域传递函数有理分式近似式一般表示为
h(s)≈
( 3 )
式中：a、b为系数，均为实数；h(s)为频域传递函数；s为拉普拉斯算子；n为拟合阶数。
粗纤维按照GB/T 6434—2006/ISO 6865:2000《饲料中粗纤维的含量测定过滤法》；粗灰分按照GB/T 6438—2007/ISO 5984:2002《饲料中粗灰分的测定》；粗脂肪按照GB/T 6433—2006/ISO 6492:1999《饲料中粗脂肪的测定》；粗蛋白质按照GB/T 6432—94《饲料中粗蛋白测定方法》；还原糖采用DNS法（3,5-二硝基水杨酸比色法）[9]，绘制的葡萄糖标准曲线为y=1.267x+0.035 8，R2=0.999 1。
拟合的过程分为两步：
(1) 极点定位
飞行之余，程凤萍也没有闲着，南航湖南分公司的乘务员们都会参加公司开设的英语、俄语和其他小语种培训班，不断充电。
杨头村：以花岗岩类、火山岩类残坡积物为主，母岩风化后一般成粗骨土，土质疏松，砂砾含量大，母岩中微量元素含量均衡，尤其是氮、钾养分元素丰富。
那次，大伙拿李萍发糖果的事开玩笑，陈建伟说主任中午请客替她解了围。表面上是车间主任请的客，但李萍知道实际上是陈建伟私自掏的腰包。她看见陈建伟去找主任报销，主任训斥他，“你小子现在可以啊，敢替我当家做主了。我什么时候说过，要请大家吃饭啊！”由于花销超支太多，主任只给他报销了三分之一，剩下的陈建伟自己负责。
设置初始极点为p0,p1,…,pn，并引入一个极点替换函数σ(s)，使之满足如下表达式
( 4 )
式中：pi为传递函数的极点；ri为传递函数的留数；ui为σ(s)的余数向量；d为实数。其中σ(s)在高频率下趋向于1，将式( 4 )中的第二行左右两边乘以h(s)
( 5 )
因此在整个频率段上，该问题转换成求解如下超定线性方程组
Ax=b
( 6 )
式中：A为对角线上元素为初始极点的对角矩阵；b为值为1的列向量；x为待求解向量。
(2) 零点计算
泰顺“百家宴”作为一项盛大的元宵节庆民俗活动，其民俗构成完整且复杂，对它的民俗构成进行仔细梳理有助于我们更好地进行研究工作，也有助于发展其现实意义，使其在新时代下焕发新的生命力。
σ(s)的零点计算等价于求解如下特征矩阵H的特征值
教育行政管理部门可以建立教育教学数据库，各大学可以建立相关子数据库，对学生的学业信息今夕收集、整理、分析以及预测。举例来说，对于在线课程可以设置相关数据变量，对学生的课堂行为进行分析和监控，包括旷课、开小差等实时情况。如果学生达到某些设定值，那么系统就会自动发出警报，同时进行记录，最后作为课程评分的依据。当然，无论是线上还是线下均可以采用类似操作。
H=A-b·uT
( 7 )
式中：A为对角线元素为初始极点的对角矩阵；b为所有值为1的列向量;uT为σ(s)的余数向量的转置。σ(s)的零点即是h(s)的极点，为了使该方法收敛，把新得到的极点作为初始极点继续进行迭代。
2.2 传递函数计算
为了验证本文所用快速松弛矢量匹配方法的精度，以现场某台自耦变压器实测FRA曲线为参考，进行了拟合计算，整个频段的拟合阶数为40阶，以共轭极点为初始极点，极点间隔为对数间隔。计算结果见图9，拟合结果精度较高，且拟合的均方根误差小于10-6，可见该方法极大地提高了传递函数计算的精度。
式中:I为城镇居民生活用电量;P为人口因素;A为财富因素;T为技术因素;α为模型系数;ε为误差项;b、c、d为影响因素的指数。
图9 频率响应曲线拟合
由于不同频率下频率响应曲线电感、电容谐振点的分布变化所反映的信息是不同的，因此，在1 kHz～1 MHz全频域上对网络的传递函数进行分析，难以有效地反映绕组变形在不同频率区间的信息量。为此本文采用了分频段拟合的方法，在电力行业标准DL/T 911—2016[24]中频段划分的基础上，将中频段继续细分为2个频段，以更加突出中频段的特征，其中划分的4个频段：1～100 kHz为频段1， 100～300 kHz为频段2，300～600 kHz为频段3，600 kHz～1 MHz为频段4。
3 传递函数系数对比研究
变压器绕组实际上是一个非线性系统，其非线性特性主要受电感的频变特性影响。但绕组的非线性程度实际上较小，因此可以将其近似为一个线性系统，通过拟合频响曲线辨识得到传递函数是可行的。同时本文绕组故障仿真表明：不同故障情况下电感的频变特性基本一致，而电感等非线性元件的频变特性对FRA曲线偏移的影响，较绕组故障引起的电感、电容量变化引起的曲线偏移可以近似忽略不计。为了进一步增强各个频段的线性化程度，采用分频段拟合的方法。其中频段1的非线性特征较其他3个频段要强，拟合的效果不如其他频段好，因此相应地增加了该频段拟合所需要的阶数来提高精度，保证该方法的适用性。为了保证后续诊断的有效性，本文在拟合时确保了绕组正常和不同故障情况下各个频段拟合的精度一致。
基于矢量匹配算法，针对图6～图8中的故障仿真曲线，分别在4个频段内进行了拟合，得到了相应的传递函数多项式系数a0,a1，…,an-1和b0,b1,…,bn，并将其进行对数归一化，为了区分，统一将系数归一化后的值称为参数。由图6～图8可知，频率响应曲线在频段2和4内的变化较为明显，故重点分析频段2和4内不同绕组在不同故障程度下的各阶分子、分母参数，见图10～图12，其中横坐标从左至右依次为ai和bi的不同阶数，纵坐标为对数归一化后的参数值。
图10 O绕组移位时频段2内各阶参数变化
图11 A绕组移位时频段2内各阶参数变化
图12 B绕组移位时频段2内各阶参数变化
由图10～图12可以看到，随着故障程度的增加，传递函数各阶分子分母系数均发生了显著偏移，且都向上进行了偏移。当O绕组和A绕组发生移位时，参数a和参数b的值偏移较为接近，而B绕组发生移位时，参数b的变化较参数a要显著，传递函数变化更为明显，这是由于B绕组靠近油箱，移位时对地电容和互感变化更为明显，但从幅频曲线中难以直接发现。
频段4内的传递函数参数变化见图13～图15，与频段2相反，当不同绕组发生不同程度地偏移时，传递函数各阶分子分母系数均向下发生了显著偏移。O绕组和B绕组移位时参数a较参数b更为明显，而公共绕组发生移位时，参数a和b变化较为接近，这是由于串联绕组分别靠近铁心和油箱，移位时对地电容变化更为显著，传递函数变化更为明显。不论是频段2还是频段4都对应频率响应曲线上的谐振点偏移，说明谐振点幅值频率的偏移与传递函数参数的变化呈现一定的相关性。
图13 O绕组移位时频段4内各阶参数变化
图14 A绕组移位时频段4内各阶参数变化
图15 B绕组移位时频段4内各阶参数变化
为能进一步分析绕组故障在不同频段上的表现，表2中列出了不同绕组发生不同程度故障时各个频段内的参数变化规律，由于各个频段内的参数呈现出比较均匀的变化趋势，因此参数平均变化率在一定程度上可表征参数总体的偏移规律。
表2 参数平均变化率对比表
故障绕组移位/% 参数平均变化率/% 频段1频段2频段3频段4O绕组1-0.372 91.751 03.151 7-3.522 43-0.391 62.218 32.505 2-4.265 15-0.405 63.814 81.193 8-5.089 3A绕组1-0.538 61.185 43.536 6-2.782 43-0.762 02.323 22.043 1-3.603 65-0.783 43.332 11.702 3-4.119 9B绕组1-0.338 71.819 66.112 8-2.498 73-0.445 62.126 52.903 6-3.508 85-0.456 85.040 31.158 2-5.580 5
由表2可知，频段1内的参数平均变化率要远小于在其他频段上的参数平均变化率，对应于频率响应曲线在频段1内基本没有发生什么偏移，而在其他频段内的偏移量要大，因此传递函数参数变化率的大小可以用来表征谐振点的偏移程度。
This study aimed to evaluate the prognostic value of systemic inflammation-based markers within the peripheral blood of patients with advanced or metastatic PC, and to determine their usefulness in predicting patients’ responses to chemotherapy.
由于自耦变压器特殊的绕组结构，若串联绕组发生故障，很难准确判断变压器哪一个串联绕组发生了故障，由图10～图15可以看出，随着故障程度的加深，在频段2、3、4内，B绕组(靠近油箱)参数平均变化率变化的速率要明显大于O绕组(靠近铁心)参数平均变化率变化的速率，因此B绕组相应参数的变化对轴向移位故障更加敏感。
为了定量地评价绕组故障的程度，引入Kendall Rank(肯德尔秩)相关系数来评价绕组故障与正常情况下传递函数参数序列之间的相关性。其中Kendall Rank相关系数τ的计算式为
( 8 )
式中：C为两组序列中存在一致性的元素对数；D为两组序列中存在不一致性的元素对数；N为每组序列的总元素个数。将4个频段内的参数合并到同一组序列Xa、Xb中
( 9 )
通过上述序列，计算出Kendall Rank相关系数τa、τb，绕组正常时τa、τb均为零，对其整理变形得到能表征绕组故障程度的参数τtotal，见表3，其中τtotal的计算式为
(10)
表3 特征参数τtotal对比表
移位/% 不同绕组故障时的τtotal O绕组故障A绕组故障B绕组故障10.406 80.491 30.549 930.658 20.608 80.678 050.788 00.767 90.930 0
由表3可知，当绕组发生1%至5%移位时，τtotal值呈现显著增加，并且可以看到B绕组的变化较其他2个绕组更为明显。为能进一步分析特征参数τtotal与绕组故障程度之间的关系，根据标准DL/T 911—2016相关系数计算方法[24]，计算得到低、中、高频的相关系数RLF、RMF、RHF，见表4。
表4 O、A、B 3个绕组不同故障程度下相关系数
绕组及移位/%RLFRMFRHF绕组情况O绕组12.071.411.53正常O绕组31.540.830.97轻度变形O绕组51.350.610.76轻度变形A绕组12.171.161.20正常A绕组31.700.640.47轻度变形A绕组51.320.460.26明显变形B绕组12.061.541.63正常B绕组31.040.731.29轻度变形B绕组50.660.760.89明显变形
由表3和表4对比可知，当绕组发生1%的轴向移位故障时，通过相关系数法计算得到的结果为绕组正常，为此本文将Kendall Rank特征参数作为判断绕组故障程度判据的同时，定义了一个判定区间。当0.4≤τtotal≤0.6时，绕组有可能发生了轻度故障；当0.6<τtotal≤0.75时，绕组有可能发生了明显故障；当τtotal>0.75时，绕组有可能发生了严重故障，这也进一步增加了该特征参数对故障程度较轻时的灵敏度。
此外，卓鹏战略机构专家田卓鹏，独特营销机构创始人王伟设，北京上兵伐谋品牌机构首席顾问刘立清，《中国酒业》智库专家、新浪签约自媒体人欧阳千里，黑格咨询首席顾问徐伟，外交学院客座教授宋荣华等多位专家的营销、商业经验分享让在场听众大呼“解渴”。
4 实验验证
为能进一步验证本文的方法，本文对一台用于高速铁路的32 MVA/55 kV自耦变压器进行了分析，该变压器短路冲击试验前后的频率响应曲线见图16。由图16可知，变压器经过短路冲击试验后，高频段的曲线发生了一定的偏移。利用快速松弛矢量匹配算法分频段对其拟合，拟合采用的阶数为50阶，拟合的均方根误差为10-6，其中由于频段4内的幅频曲线产生了明显的变化，因此仅列出频段4内传递函数系数的变化，见图17。
图16 绕组短路试验前后频响曲线
图17 频段4内各阶参数变化
结果表明，绕组遭受短路冲击后，频段4内传递函数参数变小，向下偏移，对应于该频段内频响曲线发生了较大的偏移。根据标准DL/T 911—2016中给出的相关系数计算方法，得出绕组在遭受短路冲击后其绕组正常，而本文的Kendall Rank特征参数τtotal的计算结果为0.403，根据定义范围，表明绕组有可能已经发生了微小的移动，经过吊罩检查，发现O绕组端部垫块有部分松动，并采取了紧固措施，验证了本文所提方法的有效性。
由以上分析得到赋形后的反射面，将其建模并带入后处理软件Postprocessor中，4个口径下的波束C/I值分别如图10～13所示。
5 结论
本文基于快速松弛矢量匹配算法和频率响应幅频、相频曲线对高速铁路自耦变压器的传递函数进行了高精度拟合计算，得到了正常情况和不同故障程度下的传递函数系数序列，通过计算其系数序列的Kendall Rank相关系数对绕组故障程度进行诊断。结果表明：
(1) 基于快速松弛矢量匹配算法提出的频率响应曲线分析方法，结合绕组的幅频和相频曲线变化特性，可实现高精度的系统传递函数计算，比单纯利用幅频曲线变化趋势进行判断更加全面，有助于增加变压器绕组故障诊断的准确性。
(2) 通过计算故障情况相对于正常情况的传递函数参数序列的Kendall Rank相关系数，定义了能够表征绕组故障程度的特征参数τtotal，基于本文中的仿真和实测案例分析，表明该特征参数的大小能够较为准确地对绕组变形的程度进行衡量，并对微小形变表现出更高的灵敏度。
(3) 从本文的案例中可以看出，与靠近铁心的分裂绕组O(串联绕组2)相比，远离铁心的分裂绕组B(串联绕组1)随着故障程度加深，其参数平均变化率变化的速率要大于O绕组，因此可以通过判断参数变化率变化的速率来区分是串联绕组O还是串联绕组B发生了故障。
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