自然哲学的数学原理，第五章引理19
下面介绍引理 19，这是一个作图题。要求是：给定了直线 、、、 及四个角，求作一点 ，使得过 向四条已知直线分别作线段 、、、，与已知直线相交于给定角度，并且 是给定的值。
需要提前说明的是，原文中的表述非常难懂，以下都是基于本人对《原理》中文版的理解而写的，我只能希望没有错误。下面重述作图过程并作解释：
第一步：过 点作任意方向的射线，分别交 、 于点 、，显然 上任意点（图中以小写的 代表）向 、 所作的与 、 分别成指定角度的线段 、 之比恒定。
第二步：作一条和 平行的直线（图中以小写的 表示），显然这条线上任意点向 所作的与 成指定角度的线段长度恒定，为下文叙述方便不妨将其记为 。
第三步：根据题目要求的比例，现在 以及 都是恒定的，可以根据 给定比例（上图以 代表）求出 。
第四步：作出一条和 平行的直线 ，要求过这条平行线上的点向 作指定角度的线段长度为 ， 与 交于一点。
第五步：连接上面的交点和点 ，并延长，与 交于一点 。
点 即为所求。（第一步作的 线不同，则最后得到的 点也不同，全部符合同样条件的 点构成一条过 的圆锥曲线）
牛顿接下来给出了两个推论，下面分别叙述：
推论 1 是讲已知圆锥曲线上有限个点怎么作切线的。切线是弦的极限，当上面的 点逐渐靠近点 时， 即为切线。作图原理逐条叙述如下：
首先，连接 点，从 点向 、 分别以指定的角度作线段 和 ，可以得到 的值，这就是当 趋近于 时 的极限，或者用牛顿的话来说，叫做“最后比”。
其次，当上图中的 向 无限接近时，、、、 各点也向 点无限接近。考虑无限小的三角形 中，角 是提前给定的，角 因为是 的对顶角，所以趋近于 。既然角 和 在 趋近于 时都是已知的，所以 在 趋近于 时的极限是可求的。
类似的， 在 趋近于 时的极限也是可以求的。这里涉及的两个角分别是角 （已知角）和 （趋于 ）。
现在我们知道了 和 、 在 趋于 时的极限，以及题目中给定的 的值。所以这时 的值是可以求出的。然后过 作 与 平行，交 于 ，分 于点 ，使 等于 ，并连接 。
即为该圆锥曲线在 处的切线。
推论 2 讲的是如何判断曲线的具体形状：设过 的切线为 ，过 作平行于 的弦 ，且 的中点是 ，连接 ，则最后的这条连线如果和圆锥曲线只有一个交点 ，那么圆锥曲线为抛物线；如果有两个交点 、 且位于 的同侧，则圆锥曲线为双曲线；如果两个交点 、 位于 的异侧，则圆锥曲线为椭圆。（下图中， 是圆锥曲线上平行于切线 的任意弦， 是 的中点， 是过焦点且平行于 的弦， 是过焦点且平行于 的弦，红点是焦点）
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说明：
1、前面双曲线和椭圆图中的比例式，牛顿的原文是“…… 是直径或横向通径，而通径与它的比为 比 ”，经笔者用几何画板多方试验，得到现在的比例；
2、牛顿在推论 2 之后有一段话：“这样，我们在此推论中对始自欧几里得、继之阿波罗尼奥斯所研究的著名四线问题给出解答，在此不用分析计算，而用几何作图，正是古人所要求的。”