2020年OTJMO第二季 -中文翻译

OTSS是aops上的一个讨论小组，出品了不少模拟题，比如模拟AMC的TMC, 模拟AIME的OTIE等等. 7月份他们搞了第一季OTJMO，见链接 2020OTJMO 第一季.

前几天他们又搞了第二季,如下所示:

第一天

1.求所有函数,使得对任意实数x,y,均有

其中 表示 在处的次迭代.
即 ,

2.如图, 内接于圆. 过B,C分别作的切线, 两者交于点X. 在BC边上取一个动点P, 过P作BX平行线,CX平行线. 这两条直线分别与过A点的的切线交于点.直线与BC交于点R, 外接圆与外接圆再次相交于Q.求证: PQ与RX交点为定点.

3.对正整数 设 为n个互异的 的二元子集. 证明: 存在两个互异的 的子集 和 ,使得对任意, 均有

其中 表示集合的元素个数.

第二天

4.一个的网格表由个单元格构成, 其中为正整数. 每个单元格的所有边都被绘出, 其中一些单元格的对角线也被绘出, 并且, 任意一个单元格中至多有一条对角线被绘出, 任意两个有公共边的单元格所绘对角线(如果有的话)方向不同.
求n的所有值, 使得存在一种绘制方法, 可以从其左下角的顶点出发, 一笔绘制该图形.(即每条边或者对角线恰经过一次)

5.对正整数 , 若存在一个整系数多项式,使得对任意正整数, 均有整除 , 就称很酷.
(i) 证明所有很酷的数均不含平方因子.
(ii)对正整数 ,设表示所有满足 的素数p的乘积. 求所有正整数 ,使得很酷.

6.如图, 内接于圆, 其内心为I, 外心为O. 圆与AB,AC, 均相切, 其中与切点为X. BC的垂直平分线与直线AX交于点S. 过I作BC的平行线与外接圆交于点K. 直线KS与再次相交于T. 若P为外心， 求证：TP与的外接圆相切.

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老子在道德经中说：飘风不终朝，骤雨不终日。

这是什么意思呢？按我的理解，飘风和骤雨并不是常见的天气，应该说有一些反常。反常的东西，往往都不能持久，即使是大自然的伟力也是如此。其实不只是天气，在生活中到处都有这样的例子。我们学习数学竞赛，当然也不能免俗。如果逞一时之勇，疯狂刷题，投入大量时间学习，即使短时间内效果很好, 能持续多久呢？也许咬牙苦撑的话，能够持续整个高中生涯吧。但是到了大学，又该怎么办呢？人生很长，只有真正的热爱，才能持之以恒。希望大家更多地培养学生们的兴趣和思考的习惯, 所谓”从事于道者，道者同于道，德者同于德，失者同于失”。