第13讲 典型例题与练习参考解答：隐函数与参数方程的导数、相关变化率
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第13讲 隐函数与参数方程的导数、相关变化率
例题与练习题
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：设是由方程确定的隐函数，求该曲线在处的切线方程.
练习2：设是由方程确定的隐函数，求 .
练习3：求下列函数的导数 .
(1) ；
(2) ,,；
(3) ；
(4) .
练习4：设，求其反函数的导数.
练习5：设由极坐标方程 确定的曲线在处的切线的直角坐标方程.
练习6：求下列函数的二阶导数 .
(1)
(2) 且.
练习7：设 求.
练习8：设有一直细杆的质量分布为均匀，若该细杆的长度为，质量为，则该细杆的线密度（即单位长度上的质量）为 ．今有一长度为、质量分布非均匀的细杆，其质量分布函数为，求其在任一点处的线密度．
练习9：一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升，其速率为140m/min，当气球高度为500m时，观察员视线的仰角增加率是多少?
练习10：有一底半径为 𝑅 cm，高为 𝒉 cm 的圆锥容器，现以25 cm/s 的速度自顶部向容器内注水，试求当容器内水位等于锥高的一半时水面上升的速度.
练习11：已知一个长方形的长以的速率增加，宽以的速率增加，则当,时，它的对角线增加的速率为多少？
练习12：现有甲乙两条正在航行的船只，甲船向正南航行，乙船向正东直线航行．开始时甲船恰在乙船正北 40 km处，后来在某一时刻测得甲船向南航行了 20 km，此时速度为 15 km/h；乙船向东航行了15 km ，此时速度为 25 km/h ．问这时两船是在分离还是在接近，两者之间间隔距离变化的速度是多少 ？
【注】参考解答一般仅是提供一种思路上的参考，过程不一定是最简单的，或者最好的，并且有时候可能还有些许小错误！希望在对照完以后，不管是题目有问题，还是参考解答过程有问题，希望学友们能不吝指出！如果有更好的解题思路与过程，也欢迎通过后台或邮件以图片或Word文档形式发送给管理员，管理员将尽可能在第一时间推送和大家分享，谢谢！
例题与练习参考解答
【注】如果公式显示不全，请在公式上左右滑动显示！
练习1：设是由方程确定的隐函数，求该曲线在处的切线方程.
【参考解答】：对方程两边同时关于求导数，得
由此解得
由点的坐标，代入，得. 故所求切线方程为
即.
练习2：设是由方程确定的隐函数，求 .
【参考解答】：【思路一】 对已知等式两端关于求导，得
解得
对上式继续求导，得
代入的表达式，整理得
【思路二】 对已知等式两端依次关于求一阶、二阶导数
两式消去，得
练习3：求下列函数的导数 .
(1) ；
(2) ,,；
(3) ；
(4) .
【参考解答】：(1) 对等式两端取对数，有
由复合函数求导法则，得
代入函数表达式，得
(2) 对等式两端取对数，有
由复合函数求导法则，得
代入函数表达式，得
(3) 对等式两端取对数，有
由复合函数求导法则，得
代入函数表达式，得
(4) 对等式两端取对数，有
由复合函数求导法则，得
代入函数表达式，得
练习4：设，求其反函数的导数.
【参考解答】：【思路一】 由于
故由反函数求导法则，得
【思路二】 隐函数求导法则，视，对等式两端关于求导，得
解得 .
【思路三】 参数方程求导. 方程可以用参数方程描述为
故由参数方程求导公式，得
练习5：设由极坐标方程 确定的曲线在处的切线的直角坐标方程.
【参考解答】：由直角坐标和极坐标的关系，可得曲线的参数方程为
代入，得点的坐标为. 于是由参数方程求导公式，得
代入，得
所以切线的直角坐标方程为
练习6：求下列函数的二阶导数 .
(1)
(2) 且.
【参考解答】：(1)【思路一】 直接公式法.
则由参数方程的二阶导数公式，代入得
【思路二】 直接求导，得
继续由复合函数求导法则，对上式关于求导，得
(2)【思路一】 由复合函数求导和反函数求导法则，得
继续关于求导，得
【思路二】 直接由参数方程求一阶、二阶导数公式，由于
故由公式直接得
【注】：应用公式法要求 三阶可导.
练习7：设 求.
【参考解答】：【思路一】 由题设可知，时，, . 对第二个等式两端关于求导，其中都为的函数，故得
解关于的方程，得
从而由参数方程求导公式，得
【思路二】 直接对第二个等式两端关于 求导，得
其中
代入, , ，得
练习8：设有一直细杆的质量分布为均匀，若该细杆的长度为，质量为，则该细杆的线密度（即单位长度上的质量）为 ．今有一长度为、质量分布非均匀的细杆，其质量分布函数为，求其在任一点处的线密度．
【参考解答】：取小段 ，则该小段的平均密度为
因此，在处的线密度为
练习9：一气球从离开观察员500 m 处离地面铅直上升，其速率为140m/min，当气球高度为500m时，观察员视线的仰角增加率是多少?
【参考解答】：设气球上升分钟后的高度为，仰角为，则
两端关于求导，得
由题设知. 当时，, . 代入上式，得
即所求视线的仰角增加率是 (rad/min).
练习10：有一底半径为 𝑅 cm，高为 𝒉 cm 的圆锥容器，现以25 cm/s 的速度自顶部向容器内注水，试求当容器内水位等于锥高的一半时水面上升的速度.
【参考解答】：设时刻 时容器的水面高度为，水的体积为，则
两端关于求导，得
由题设可知，故
当时，代入得
练习11：已知一个长方形的长以的速率增加，宽以的速率增加，则当,时，它的对角线增加的速率为多少？
【参考解答】：设, ，由题意知，在时刻, ，且，设该对角线长为，则
两端与求导，得
代入函数值、导数值，得
解得 .
练习12：现有甲乙两条正在航行的船只，甲船向正南航行，乙船向正东直线航行．开始时甲船恰在乙船正北 40 km处，后来在某一时刻测得甲船向南航行了 20 km，此时速度为 15 km/h；乙船向东航行了15 km ，此时速度为 25 km/h ．问这时两船是在分离还是在接近，两者之间间隔距离变化的速度是多少 ？
【参考解答】：设在时刻 甲船航行的距离为，乙船航行的距离为，两船的距离为, 则
将上式两边对求导 ，得
当, 时， ．且有, ．因此，
则，即两船是相互离开的，并且速度为．
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