【几何模型】相似应用模型全覆盖

写在前面

之前三讲，我们主要介绍了相似中的几大基本模型，如A型，X型及相关变式，母子形和一线三等角，旋转手拉手和位似形．其主要运用于相似的判定，而本讲作为本学期新课的最后一讲，介绍相似的应用．

一、问题提出

给出以下工具：一卷50米长的皮尺，一根3米的标杆， 一块小平面镜，设计多种测量方案．

(1)白天，在晴天和阴天，分别想办法测量学校操场边旗杆的高度．

(2)夜晚，想办法测量小河对岸的路灯杆的高度．

二、知识储备

1、影子产生的原因：光线在空气中传播时，遇到不透明的物体，在这个物体后面光不能到达的区域便产生影子．

2、平行投影：通常，我们把太阳光看成平行光，在平行光的照射下，物体产生的影子称为平行投影．

3、中心投影：通常，路灯，台灯，手电筒……的光可以看成是从一个点发出的．在点光源的照射下，物体产生的影子称为中心投影．

4、平行投影与中心投影的区别：在平行光的照射下，在同一时刻，不同物体的物高和影长成比例；在点光源的照射下，同一个物体在不同的位置，它的物高与影长不成比例．

5、盲区：月圆之时，将一枚1元硬币竖直放在眼眼睛与月球之间，调整硬币和眼睛间的距离，直到硬币刚好将月球遮住．如图，点O (眼睛的位置) 叫做视点，由视点发出的线叫做视线，由于硬币的遮挡，眼睛看不见的区域，叫做盲区．

三、方案解决

四、实战分析

例1：

夏季中午，身高为1.65m的小亮利用楼房的影子来躲避阳光，此时小亮的影长为1.5m，该楼房高12.1m，则小亮站在距离楼房至少多远处可完全躲过炎热的阳光?

分析：

显然，本题属于第2种模型，线段AB可看作小亮，线段CD看作楼高，要保证自己头顶处的影子与楼房顶的影子重合，BD就是小亮离楼房的距离．

解答：

例2：

雨过天晴，小明在操场上散步，从正前方2m的水影中看见对面的国旗迎风飘扬，测得国旗离小明42m，小明的眼睛离地1.5m，则国旗高______m．

分析：

显然，本题属于第4种模型，根据题意，画出如下图形，注意，42m是国旗离小明的距离，实际计算中，应减去水塘与小明的距离．

解答：

例3

如图，一人拿着一支刻有厘米刻度的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂向前伸直，小尺竖直，看到尺上12厘米的长度恰好遮住电线杆，已知他手臂长约60厘米，求电线杆的高．

分析：

显然，本题属于第5种模型，根据题意，作出示意图，表示出各边长度，用相似解决．

解答：

例4

如图，已知左右并排的两棵树高分别是AB＝8m，CD＝12m，两树的根部的距离BD＝5m，小明眼睛离地面的高度EF为1.6m，他沿着正对这两棵树的一条水平直路从左到右前进，当他与左边较低的树的距离小于多少时，就不能看到右边较高的树的顶端点C？

分析：

我们可以用临界点思考，假如看到树的顶端，则E，A，C三点共线，显然，本题就属于第3种模型，过点E作EG⊥CD于G点，交AB于H点，利用相似三角形对应边的比等于相似比求得EH的长，就是他与树之间距离FB的最大值．

解答：

例5：

小明站在路灯下的不同位置，在D点处，影长DE＝3米，沿BD方向行走到达G点，DG＝6米，这时的影长GH＝5米，如果小明的身高为1.7米，求路灯杆AB的高度．

分析：

显然，本题属于第六种模型，我们可以通过两次相似来解决．注意，这里有两个未知量，BD和AB，我们可以分别设为未知数，利用方程求解．

解答：

变式：

如图，学校有一旗杆AB，甲在操场上C处直立3m高的竹竿CD；乙从C处退到E处恰好看到竹竿顶端D与旗杆顶端B重合，量得CE＝3m，乙的眼睛到地面的距离FE＝1.5m；丙在C1处直立3m高的竹竿C1D1，乙从E处退后6m到E1处，恰好看到竹竿顶端D1与旗杆顶端B也重合.量得C1E1＝4m．求旗杆AB的高．

分析：

显然，本题是第3种模型和第6种模型的结合版，AB应看作AO＋BO，求BO时，再设OG为未知数，两次利用相似，建立2个方程，分别求出即可．

解答：