数学巨擘高斯： 从贫穷人家的神童到“数学之王”
高斯九岁便能快速算出1到100的总和，十一岁时便能导出二项定理的一般展开式，并对无限级数的展开颇为熟稔。那么，这样一位出身贫穷的神童，他是如何一步步成为“数学之王”的呢？他如何将自己的数学才能应用于天文学的计算当中？在与自己同时代的数学家拉普拉斯、勒让德、贝瑟尔等人的交往中又发生过哪些故事？
撰文 ∣ 颜一清（辅仁大学数学系）
1850年代的高斯
高斯（1777-1855），出生于德国Brünswick一穷困人家。 他从小就有算学异禀。他的才智受到当地Brünswick[注1]公爵的关注， 公爵就一直资助他完成大学教育，取得博士学位，并出版数学巨著《整数论研考》(Disguisitiones Arithmeticae）[注2]。
高斯年冠十九，就在数学上有登峰造极的表现：他突破数学史上两千多年的沉寂， 以直尺与圆规作出正十七边形的图形来。而且他维持如此杰出的研究质量达半个世纪之久。 他的研究范围广泛， 遍及纯数学与应用数学，研究内容新颖、深入。 这使他成为十九世纪科学领域上最突出的人物。 他在曲面学上的研究， 更是导引黎曼创造黎曼几何学，并诱发二十世纪初爱因斯坦作出一般相对论来。
高斯就业以后一直定居在哥廷根（Göttingen）。他去世后不久，哥廷根地方的领主汉诺威王乔治五世（George V）[注3] 为表彰他的丰功伟业，敕令铸造一个七公分直径的纪念章赠与高斯家族。纪念章边缘以拉丁文刻着“Georgius V. rex Hannoverage Mathematicorum principi”（汉诺威君主乔治五世向数学家之王致敬）[注4]。 从此， 称呼高斯为“数学之王”的名号不胫而走。
Johann Friedrich Carl Gauss（洗礼名， 后来他常用 Carl Friedrich Gauss） 在1777年4月30日出生于 Brünswick 的一贫穷劳工人家。 他的父亲叫做Gebhard Dietrich Gauss（1744-1808），母亲是 Dorothea Benze（1743.6.18-1839.4.18）。
高斯的祖先姓 Goos，是德国北部 Völkenrode 村的新教徒人家。高斯的祖父 Jürgen Goos 是曾祖父 Heinrich Goos 三次婚姻中最后第二个儿子， 在家他没有什么份量，只能往外地求发展。他结婚后于 1739 年到 Brünswick-Wolfenbüttel 公国的首都 Brünswick 定居， 改姓 Gauss。 起先由于没有置产， 在当时的同业工会的限制下，只能做零工糊口。好不容易贷款购得一所小房子居住了十四年，生育三男一女。后来换房子到 Wilhelm 街30号。1774年7月5日债未还清，他就因肺病去世。他的妻子早他三个月故去。长子 Gebhard 一向帮助他父亲做工，就由他负责偿债。不过他也跟弟妹谈好，房子归他继承，弟妹分得一些现款（借来的）做为补偿。这些债 Gebhard 费了二十五年才还清。
Gebhard 在1768年与 Dorothea Vernecke 结婚， 第二年1月14日生子Johann Georg Heinrich。1775年9月5日他的妻子因肺病去世。1776年4月25日 Gebhard 与邻村的 Dorothea Bentze 再婚。1777年4月30日他们在 Wilhelm 街30号的家里生下数学天才高斯。高斯是 Dorothea 唯一的孩子。Dorothea 在结婚前当过7年女佣。 她没有正式受过教育，不会书写，印刷体字勉强可以念。
Gebhard做过各式各样的工作，最后十五年他只从事造园业。由于他会书写，也会计算，他当过一家葬仪社的会计。
高斯曾经向他的再婚对象 Minna Waldeck 描述过他父母亲：“父亲是一位老实、忠厚的人，在外头他得别人的尊敬。但是在家里他是个暴君。好在我很早就不用依靠他，彼此间的冲突较少。母亲个性坚强、明朗、善良又聪明。在我与父亲有冲突的时候，她很袒护我。我很敬爱她。”
高斯的外祖父是位石工，因工作使然的空气污染，30岁便得痨病去世了。高斯有一位舅父 Johann Friedrich，他自学成精巧的织缎人才。这位舅舅与高斯很亲，他常会讲一些话引起高斯的好奇心 ， 他觉得高斯好聪明。 当他在1809年去世时高斯悲叹：“一位生就的天才过去了。”从父母亲的祖先来看，他们都是一些农工阶级的人， 子孙能出高斯这样的神童可是个异数。
有关高斯小时候的故事都是高斯晚年向追随他的人们说的。他记性好极，而且重复叙述中并无出入的情形，所以他的话可信度大。
高斯很小的时候家门前有一条濠沟（后来围起来）直通 Ocker 河。 春天一到， 濠沟里涨满了水。 有一次小高斯在沟边玩耍时掉进沟里， 在他溺毙前被路过的工人救起， 逃过一劫。
在夏天 Gebhard Gauss 是一家砖瓦工厂的督工，到星期六得给工人们发薪。有一回他要发薪，3岁的小高斯站起来 ：“爸爸， 算错了。”在众人目瞪口呆之下重算的结果证实小高斯是对的。
高斯7岁时进 St. Cathrine 小学。 老师是 J. B. Büttner。 班上有百来个学生。 老师在屋顶低、 地板凹凸不平的教室里拿着鞭子来回走动。 鞭子是老师教、惩两用的。高斯在这样的环境下平安无事过了两年。在高斯九岁左右时，Büttner在算术课上要学生们“写出1到100的数字来， 并求出它们的总和”。 写好的同学把运算用的石盘（当时纸张还是奢侈品） 翻下放在老师桌子上。 再来交的同学依次叠上石板。老师想，出这样的考题他可以清静一下了吧。 没想到高斯一下子就把石盘拿去老师桌上放了，说：“我交了。（Brünswick 土语， Liggest se!， 英译：there it lies）”其他小朋友汗流夹背地忙着运算。高斯静坐着， 不理会老师奇怪的眼神。结果大部分的小朋友都错了，因而挨了打。高斯的石盘只见 5050 这个数字。他给老师的解释是：1 + 100 = 101， 2 + 99 = 101， … ， 50 + 51 = 101。 所以 1 + 100 等于有50对101， 答案便是 5050 。
这件事的发生有它象征性的意义。终其一生高斯做出来的结果都是简洁而正确的。 但是众人须要它有详尽的解释。
高斯的亲戚们听到到这件事后直摇头。因为依据俗语， 神会让他宠受的人夭折，这孩子的寿命恐怕不长。
老师Büttner经历这件事后觉得他再也没有什么可教给高斯了。于是特地从汉堡为高斯买一些好的算学书如 Remer 著《Arithmetica》（在扉页上有高斯的签名及1786年12月6日字样）， 或 Hemeling 的《小算术计算书》。 这两本书都有被频繁使用过的痕迹与许多小孩子计算的字迹。
Büttner有一位助手 Martin Bartels（1769-1836）。他的工作是替小朋友削鹅毛笔，改正他们的书写等。他是白铅细工匠的儿子，住在高斯家附近。可能是 Büttner 或是 Bartels 跟高斯的父亲 Gobhord 商量过高斯往后的教育问题。做父亲的认为高斯与异母兄 Georg 一样，将来走定他自己的路子：当工人。他哪有钱供儿子念书呢？对方可能找得到高贵人士出资给高斯读书。从此顽固的父亲在晚上不再要高斯织一定量的亚麻丝，甚至把纺车带到后院劈成块，当柴烧了。取而代之的是 Bartels 与高斯常在一起挑灯夜读。他们交成好朋友。Burtels 1788年后又去读书，专攻数学，后来成为 Kasan 大学的教授。
高斯在11时便能导出二项定理的一般展开式，并对无限级数的展开很熟稔。于是神童高斯的名字传遍 Brünswick。
在 1788年经由 Büttner 或 Bartels 说服不情愿的父亲，高斯终于进入 Brünswick 的预科学校 Katharineum。在那儿学生的年龄相若。高斯早些时的地方德语也改正成官方德语了。数学老师 Helling 第一次看过高斯交的作业便批示，这么优异的学生用不着再来上他的课。高斯在那个时期又得到年长朋友 Bartels 与 J. H. J. Meyerhoff（1770-1812） 的帮助自学拉丁语与希腊语。 这些古代语言对念古典书籍是必需的。
有一天高斯看书看迷了，走进 Brünswick 公爵的御花园而不自觉。倒是公爵夫人看到了他，夫人讶异那么一个小孩难道看得懂他拿着的书？一问之下才知道真的看得懂。改天她叫仆人找高斯过来给公爵看。公爵发现这个内向、拘谨的14岁小孩的确很聪明。
Bartels在1788年进入 Brünswick 的 Caroline 高等学校，认识了那里的数学教授 E. A. W. Zimmermann（1743-1815）。Zimmermann还兼 Brünswick 公国参事，跟公爵交谊很深。Barters介绍高斯给Zimmermann。 后者便与 Brünswick公爵讨论高斯这个小孩。 终于在1791年公爵引见高斯， 并决定当年6月起给高斯10个 thaler （德国旧银币） 的年金外加一些其他用费。 他还获得一些书本做奖赏，其中有一本是 Schulze 的《对数表》。高斯常常使用它， 还签上“Gauss， 1791”。
当时有习俗， 贵族或是有钱的商人会资助家境贫困人家的资优子弟读书， 以备将来他们用材之需。
高斯既然得到 Brünswick 公爵的年金念书， 做父亲的 Gobhard 再也没有理由反对他升学了。
1792年2月18日至1795年间高斯在 Caroline 高等学校学习。 这所学校在当时是德国最佳学府之一。 学校的学科新颖， 教授优秀， 图书典藏丰富。 它的教学构想除了因应生活的实际需要外还教育学生们成为新文化的舵手， 并着力培育学生们成为有自由思想与高贵情操的人。 从德国的这一类学校， 十八、九世纪人材辈出。
跟高斯一样是穷人家的孩子而得到资助进入这所学校的人当时有 Bartels、K. Ide（与高斯同行，早逝）、 Meyerhoff（订正高斯在《Disquisitiones Arithmeticae》中的拉丁文）等人。
高斯在 Caroline 高等学校期间读了许多古典文学名著， 因此他的文学素养很好。 他念的数学名著有欧拉、拉格朗日与牛顿等人的著书。 终其一生高斯对牛顿非常尊崇。 在著述方面他也学习牛顿的作风。[1]
这时候法国大革命（1789年）已然发生，但是在拿破仑挥兵攻打邻国以前，德国的一切情况还沉睡在十七世纪以来的半封建制度里。[2]
很小高斯就喜爱做数字游戏。 他算得又快又好。 在1792-1793年间高斯做质数分布的研究。 他把整数以千为等级找出其间所含的质数个数。 按照亚历山大时代的埃拉托斯特尼（276-194 B.C.），整数 p 所含质数不大于 √p， 并由筛选法可求得质数个数。 而高斯则由观察得出质数个数的增加率 D(n）= π(n）− π(n − 1000）（π(n）: 2至n间质数个数，n ≥ 1000）与
成正比。 因此由几何图形来看，
π(x），
。高斯也想过
的情形， 但认为后者的表达方式虽然比较简单， 误差却比较大。高斯在那时候又得到另一本对数表， 是瑞士 Johann Lambert 写的。 再加上他自己的运算（他对对数熟稔得很）。 这样才获得上述的结果来。 往后他还常“对数中有诗情”呢！但他并没有发表质数分布的结果。
1798年法国大数学家勒让德（Adrien-Marie Legendre，1752-1833） 发表了较准确的质数分布公式：
，
。命运的作弄使得往后高斯与勒让德所发现的数学内容常出现交错在一起的情形。
高斯并没有顺从 Brünswick 公爵的意思选读公爵领地的赫尔姆施泰特（Helmstedt）大学， 而打算赴 Brünswick 约65里以南的哥廷根大学就读， 公爵还是答应了。
哥廷根大学在 1737 年由英王兼汉诺威大公乔治二世（George II）创办， 故这所大学又以英王的名字 George Augusta 称呼。 它的模式仿照牛津大学与剑桥大学， 比其他德国大学有较好的环境与条件， 也比较不受政府与教会的干预。高斯喜欢那里的学术自由的风气与丰富的馆藏， 所以选择去那儿念大学。
高斯在1795年10月5日注册， 成为哥廷根大学数学系学生， 这时候他拥有年金158 thaler 与伙食费。 他对将来的出路感到彷徨。 语文与数学都是他喜爱的， 而学语文以后出路较好。
在大学第一年他借的书有25本。 其中20本是文科的书， 只有5本是数学书。
1796年3月30日是高斯生涯中决定性的一天。从这一天起，他开始写那出名的科学日记。 他把他的发现依次记载到1814年7月9日[日记在 1898 年从高斯在德国唯一 (也是唯一他见过）的孙子Carl August在Hamlin的家中找出]。3月30日的日记用拉丁文写着：
“等分圆周的原理以及用几何方法十七等分圆分等等。
3月30日，Brünswick”
据说从这一天开始他决定从事数学的研究，而语文成为他终生喜爱学习的一个嗜好。
高斯对发现正十七边形的几何作法的记载是：“在Brünswick家里的一个假日，我思考
的诸根之间的算术关系。隔日早上还没有起床， 我已经很清晰地看到我需要的关系式。 我就立刻把它应用在正17边形上。 计算的结果证实这个方法是对的。”
1796年6月1日的《一般学艺新闻》中有高斯的告示：
这是高斯一生中仅有的一次预告他的发现。 后来“等分圆周”出现在高斯巨著《整数论研考》的第七章，正十七边形的顶点求法成为这一章的一个例子。这本书因经费与出版商的问题迟延到1801年9月29日才出版，一出版就被抢购一空，造成一时的轰动。
1891年1月6日高斯从哥廷根给他的学生兼朋友 Gerling 信， 说研究“整数论研究”所带给他的喜悦是他研究数学当中至高无上的。 即使多美的天文学上的发现所带给他的喜乐都无法与它相比。 信中他给 Gerling 简述正十七边形的求法：
高斯好得意作出正十七边形来。 他对大学时代的好友 Wolfgang von Bolyai (1775-1856） [注5] 说， 以后他的墓碑上就刻上正十七边形好了。（模仿阿基米德。阿基米德很中意他所求得的球体与其外切圆柱的体积与表面积及它们的比例 2: 3。 结果他的墓碑上就刻着一球及其外切圆柱。 多年后罗马雄辩家西塞罗做西西里长官时，在荒芜中凭这个墓碑找出阿基米德的坟墓，修复了它。）[5]。
Bolyai是匈牙利 Transylvania 地方的贵族， 晚高斯一年进哥廷根大学哲学部门。 他与高斯初次在天文学教授 Seyffer 家碰面。Bolyai 对基础数学有兴趣，便毫无忌惮地谈论数学， 就这样引起高斯对他的兴趣。 再下一次巧遇时他们便结为好朋友了。高斯工作累了，就去 Bolyai 居处休憩而往往不先发言， 甚至于不讲话。只有一次他显得很开心，那是他作出正十七边形的时候。他给 Bolyai 他算出正十七边形的笔记当做纪念。他们也交换烟斗， 每天在一定时间抽烟斗来想念对方（在高斯去世后，Bolyai 将这些东西寄去哥廷根大学留存）[6]。
高斯也带 Bolyai 徒步到 Brünswick 拜访高斯的双亲。当高斯离席时母亲 Dorotea 问 Bolyai 她儿子能否成器？当Bolyai告诉她“他是欧洲第一等的数学家呢！”时，Dorotea听得热泪盈眶。
1798年9月28日高斯学成（没有等到拿博士学位）回 Brünswick。行前他跟 Bolyai 相约一年后由 Bolyar 定出时间及地点再见一次面。他们约在1799年5月25日星期六在哥廷根与 Brünswick 中途的 Claustal 村见面。两人徒步同时到达那儿，一起攀登一座小山。在山麓上的小酒店两人含泪握手道别。他们通信到高斯去世前两年，但一直没有机会再见到对方。Bolyai 是高斯大学时代沉思、欢乐与共的朋友。 此后高斯再也没有向其他朋友那么坦诚告白他的心思了。
1840年 Bolyai 在他的回忆录中记述：“……我认识了高斯，他那时候是哥廷根大学的学生。我们一直都有友善的接触。我从来不跟他相比。他很谦虚，也不夸示。我们几年在一起，我都没有看出他的伟大。很可惜，我不懂得打开这一本无言、无题的书本来翻。我不知道他懂得多少，他倒看清楚我，但高估了我，不认为我有多渺小。我们分享对数学的热爱与对道德的信念。我们时常在一起散步，各自浸淫在自己的思考中，几个小时不交谈一言。”
高斯在哥廷根大学虽然念数学，可与天文学教授 Seyffer 熟悉， 过后也一直有书信往来。 他也喜欢物理学家 Lichtenberg、语言学家 Heyne（非诗人 Heyne），但不喜欢数学教授 W. Kästner。
1998年9月底回到 Brünswick 后，高斯前途未卜。但他不再回父母亲家而租屋在 Wenden 街。他写信给 Bolyai，期盼公爵能在经济上继续支持他到找到工作为止。他也找过工作，但都失去机会。
当年10月他到赫尔姆施泰特大学， 使用那里的图书。馆长善待他，数学教授 J. F. Pfaff（1765-1825）也对他很友好。他在忙着完成《Disguisitiones Arithmeticae》（编注：整数论研考，也译作算术研究）这本书。11月时他已订正第五章四次，第七章基本上完成了，第八章还得花好多时间。12月中旬公爵答应继续给高斯年金158 thaler。 在这以前年金迟迟未发下，高斯以借贷度日。公爵没有立即允诺继续给高斯年金有他个人的理由：他的父亲挥霍过度，使国库干枯，几近破产。公爵想了法子，才挽救了这个局面。
公爵要求高斯拿博士学位。高斯本来打算交给赫尔姆施泰特大学《Disqusitiones Arithmeticae》做为博士论文，但是印刷情况缓慢，高斯写的份量又越来越多，印刷费可观，超出预算。 因此，高斯打住出版第八章的念头。在1977年4月高斯打算另交博士论文， 选题为“代数学的基本定理”。5月他完成它交给 赫尔姆施泰特大学当局。这是高斯做的有关“代数学的基本定理”第一次证明。此后他又用另一些方式给了它三次证明。
这时候他开始展现大学时代天文学教授 Seyffer 给他培养出来的兴趣：天文学。4月间他做出计算视差的公式来。他也研究算术几何平均数（arithmetico-geometric mean）、双纽线（lemniscate）与三角函数间的关系。
1799年7月16日高斯在赫尔姆施泰特大学无口试获得博士学位。公爵替他支付一切所需费用。
1799年12月高斯住在 Pfaff 家继续作他的研究。Pfaff家人一天之间只能见到高斯两三个小时。Pfaff 为高斯的健康着想，会带他出去走走，谈谈天。
当年12月23日高斯发现算术几何平均数 M (a, b) 与第一阶椭圆函数有如下的关系 :
12月16日高斯给好朋友 Bolyai 信告诉他近况，还要他切记除夕（到那一天信应该已经到达） 子夜那18世纪的最后一刹那。 对高斯来说，它将是一个特别神圣的时刻：在那一瞬时，尘世会从他眼前消失不见，他的人会升华成纯净的灵魂，体会出莫大的生之喜悦。
1800年高斯的时间就花在《Disquisitiones Arithmeticaes》的完成，印刷与椭圆函数上。他住在赫尔姆施泰特到1800年的复活节。他终于决定不在《Disquisitiones Arithmeticaes》加第八章以节省印刷费。即使这样公爵还追加费用才付得清一切开支。
他又继续作椭圆函数的研究，也发表计算复活节日期的公式。据说高斯的母亲不记得高斯的生日，只晓得他在耶稣升天节前八天的星期三出生。高斯作出算式才推算出他的生日来。
1801年9月29日《Disquisitiones Arithmeticaes》终于出版了，费用全由公爵支付，书一下子被卖光，行家激赏。
在书的序文中高斯把这本书呈现给Brünswick公爵，文辞中充满谢意。他写：“倘若没有公爵您的支持，我无法毫无牵挂地从事生就心仪的数学研究达数年之久。没有您的雅量与支撑，我就无法除去迟缓出版这本书所遭遇到的所有障碍……” 公爵的名字因这篇序文而永存。
《Disquisitiones Arithmeticaes》以拉丁文写成，而高斯为求文笔的流畅还请他的朋友，拉丁文专家 Meyerhoff 改正。这本书被称为“有七个封印的书”，意即由七章所成的艰深、难读的书，连专家都不容易看懂。书中那简洁的综合性证明所蕴涵的宝藏经由他的后进狄利克雷（P. G. Lejeune Dirichlet，1805-1859） 及后来的克莱因（Felix Klein，1849-1925）[4]等人的解，众人才能得以分享。
这本书的前三章处理二项同余式理论。第四章展开同余式平方剩余的理论。第五章讨论二元二次形式，并发展成三元二次形式的理论。第六章讨论第五章的特殊情形，第七章被视为书中的精华。高斯使用二项同余式理论来解代数方程式 xn=1，n∈N。从而应用在n等分圆周及正n多边形的作图上。[7]
高斯晚年说：“《Disquisitiones Arithmeticaes》已经成为历史性的著作了。”他的话是对的。
此后高斯投入天文学、物理学等的研究，一直到晚年才全神回到数学的研究上来。
1800年代在天文学上是进展迅速的一个时期。观测天文学在技术与仪器上都有长足进步。而天象图是由有系统的观测资料编纂而成的。在理论天文学方面，天王星在1781年被发现（海王星在1846年，冥王星迟至1930年才被发现）。这对计算星座的扰动（Perturbation）的准确性很有帮助。
1801年是高斯划时代的一年。过后他回想起来，觉得有那么多科学真理涌现在他脑海中，使他无法抵挡。
1801年元旦意大利天文学家 G. Piazzi（1746-1826）在巴勒莫发现一颗小彗星Ceres（谷神星），它不带尾巴，也没有外被（envelope）。一直到2月11日他才观测到 Ceres 的轨道9°， 过后它就在太阳阴影下不见了。 依据“波得法则”（Bode's law）， 这个星应该存在，并在1801年底或1802年初再出现。于是欧洲的天文学家们忙着算出Ceres再出现的轨道。 而他们所能根据的是Piazzi 发表在德国的《天文月刊》9月号上的所有观测数据。
高斯在当年的9月29日才出版《Disquisitiones Arithmeticaes》， 但是这个讯息立刻引起他的兴趣。Piazzi虽然前后观测了41天。可也只有三天的观测数值。 在高斯的日记第119、第120项（1801年9月与10月） 里，高斯记下他开始算 Ceres 的轨道。高斯想，必定有一个椭圆轨道适合 Piazzi 给的数据。这问题便是：天空上有两个星，地球与 Ceres 在各以太阳为一焦点的 C1与C2二椭圆上运行（开普勒第一定律）。而地球的轨道C1已知，并有三条空间直线（观测线） 发自C1至C2。 两直线间的C2弧已知，要求出C2曲线。[8]
1801年11月高斯完全解决了这个问题，就跟众多天文学家们一样，他把结果发表在《天文月刊》上。德国 Seeberg 观测台长兼《天文月刊》编辑 F. X. G. von Zach（1754-1832）根据高斯发表的轨道，在1801年12月31日至1802年1月1日看到 Ceres。1802年1月1日，不来梅的 H.W. M. Olbers (1758-1840) 也在高斯预测的轨道上看到 Ceres。由此天文学家们为 Ceres 的再现狂喜不已。同时高斯的名声传遍了全世界。大家认为他是第一流的理论天文学家。早先高斯在天文学界默默无名。他没有天文学家该具备的仪器，甚至于连望远镜也没有。但是这位数学天才单凭三次数据就正确地算出消失不见的彗星的轨道出来。
高斯在1802年1月18日写信给 Olbers 问他观测 Ceres 的结果。这是他们间友谊的开始。Olbers是一位成功的开业医生兼杰出的业余天文学家。他看病人到晚上十点，过后在家里屋顶上的观测站看天象。据说他每天的睡眠时间不超过四小时。当时德国的天文学家们很喜欢围绕在 Olbers 的身边。他是他们的原动力，而且从他的观测站可能可以获得一些新的观测数据，如果他们凭那些数据有新发现，则可以名垂不朽呢。
1802年 Olbers 在 Ceres 近旁发现一新星叫 Pallas。1804年 Ludwig Harding发现一星叫 Juno。 这些星的轨道当然全权委托高斯来计算了。高斯一个小时可以算出一个彗星的轨道来，而欧拉用古老法则须花上整整三天时间。
1801年夏圣彼得保大学想聘请Ziemann。Brünswick 公爵为了留住他，升任他为枢密顾问官，并让他辞卸 Catharine 高等学校的教职。这个缺本来高斯有望，但是后来由高斯先前的老师、博物学家 Hellwig 继任。公爵可也要留任高斯，就把他的年金升为400 thaler，酬庸他写出《Disquisitiones Arithmeticae》。高斯听到这个消息后不禁叫出：“可是我都还没有为这个国家做任何事啊！”他便自费买了一个六分仪， 提供 Brünswick 的人们使用。
高斯被全世界公认为名人的事实是，给他的赠与纷至沓来。1802年1月31日他被聘任为圣彼得堡科学院外国通讯会员。同年9月5日又有邀约请高斯当圣彼得堡天文台长。高斯在犹疑中。Olbers 听到消息后为了要留住高斯在德国境内，他动用他的关系，想让高斯当将建立的哥廷根天文台的台长。而公爵的反应是，又增加了高斯的年金。高斯觉得这样很好，他没有固定官职，但能正式为公爵工作。这样的地位适合他的嗜好与需要。
1803年6月2日高斯给 Bolyai 信，信中说天文学与纯粹数学是他心中的罗盘指针经常指向的两极。
高斯的母亲结婚前在鞣皮工场主 Ritter 家帮佣。高斯出生后 Ritter 家两个男主人当他的教父。 因此高斯小时候常常去 Ritter 家玩。 圣诞节时那里一定有一份 高斯的礼物。从哥廷根回来后，高斯有机会就往 Ritter 家走动。他享受那里的 Brünswick 中产阶级家庭中和谐的气氛。在那里，高斯与 Johanna Osthoff（1780.5.8-1809.10.11） 认识了。 她是另一名鞣皮工场主 Osthoff 家唯一的孩子。她长得柔美，性情明朗、可亲又明事理，也受了一些教育。
1804年6月28日高斯给 Bolyai 信说，他认识了一位他渴望成为终身伴侣的美好女子近一年。她美丽的面容犹如圣母般，显现出身心的平和。她个性活泼，快活而且谦和。尤其重要的是，她有天使般的爱心。1804年7月2日高斯给Johanna求婚信。信中他说他的将来姑且不谈，目前他拥有的足够两个年轻人不操劳地快乐过日子，他所能够提供给她的是他那一颗温暖、充满着爱的心。
对高斯的信Johanna拖了三个月没有回答。高斯的名气太大，态度高不可攀等使她着实犹疑了一阵子。高斯不解Johanna的沉默。不过当时的政局开始让他分心，而且不安起来。那时候拿破仑已攻破德国南方诸邦，开始以他的方式分割德国境内一些小国。高斯虽然依附 Brünswick 公爵，拿年金过日子，但是将来的变数蛮多。
Johanna 终于答应了高斯的求婚，他们在1804年11月22日订婚了。
订婚后三天，高斯满怀喜悦地给 Bolyai 写信说，他三天前订婚了。 如今人生在他眼前彷佛是永恒的春天般充满着光彩。 他并劝 Bolyai 也做做实地天文学，它仅次于在这人世间他所能尝到的甜美，又充满喜悦的纯数学真理的研究。
1805年10月9日，高斯与Johanna在 St. Catarina教堂结婚，住在 Ritter 家所拥有的房子 Steinweg 22号。高斯单身时也住在那儿。
在Olbers那里高斯认识了贝瑟尔（ Friedrich Willhelm Bessel，1784-1864）。当时贝瑟尔年方20，在不来梅一家商业机构做事。 由于他喜欢天文学，也就结识了Olbers。 后来贝瑟尔成为实验与理论双方面都是第一流的天文学家。高斯虽然跟 Olbers 有深交，但是往后对 Olbers下的冷峻评语是：“Olbers在天文学方面着实做了很大的贡献。 但是他最大的贡献在于适时发现了贝瑟尔在天文学上的才能， 而为科学栽培了他。”
Olbers介绍贝瑟尔给高斯为的是要贝瑟尔替高斯分析观测数据。 他们初次见面较晚，但高斯给贝瑟尔深刻印象，高斯给贝瑟尔的《Disquisitiones Arithmeticae》这本书，贝瑟尔爱不舍手，磨损后又重新装订。贝瑟尔终其一生认高斯为师。而高斯也给贝瑟尔最好的评价。 两人之间从此有42年（中间间断过一阵） 的书信往来。 这些内容是研究高斯最有科学价值的数据。
1806年8月21日高斯喜获一子。高斯为纪念 Ceres 发现者 Piazzi， 以 Piazzi 的名字Joseph命名长子。
高斯与家人在 Brünswick 平静地过日子， 但当时政局越来越不妙了。拿破仑在巩固他的地盘，而普鲁士与奥地利没有防卫法国的一致性看法，形势看来很险恶。于是普鲁士注意到同盟国的俄罗斯，便在1806年1月30日派Brünswick公爵为特使往圣彼得堡商讨联合攻防法国事宜，但没有获得结果。倒是圣彼得堡许多人士问公爵有关高斯的事，并请他放人，让高斯接受他们的邀请。
当3月23日公爵一回国，为了要留住高斯便决定再升高斯的年金为 600 thaler， 高斯在他生日当天听到这个消息。在5月高斯找一天拜访公爵，表达谢意。这是他们最后一次的见面。前后十四年的交往中公爵给高斯很大的学术研究机会，接着的数月政治风波使公爵再也无暇顾及高斯了。
普鲁士为了要阻挡法国势力向中欧伸张，在1806年10月发动战争，而以年迈七十的 Brünswick公爵（他是 Fredrick 大帝在七年战争中的名将） 为统帅。 战场由约拿（Jena）战到奥尔施塔特（Auerstaedt）。在10月14日晨，公爵在发号指令时被敌方的毛瑟枪伤到。 弹丸由公爵的右眼上方射进，打碎鼻梁；从左眼窝挖出左眼来。受伤的公爵退出战场。有一小队代表团派往拿破仑军营陈情：希望拿破仑以军人的宽宏大量让 Brünswick 公爵能在家人围绕中咽气。 但是他们受到情绪低落的拿破仑的嘲弄与侮辱。为了避免成为阶下囚，濒死的公爵只有逃亡一途。
那时候高斯住家在公爵邱邸的正对面。10月25日清晨高斯被忧郁的马车声惊醒。从窗口他看到长形的双头马车载着垂危的公爵像柩车般慢慢地驶往汉堡门。公爵终于在 Altona（汉堡附近的一都市） 地方的小旅舍去世。从此，高斯恨透了让他的恩人遭受到如此下场的拿破仑与法国这个国家。
早先Brünswick公爵有意在 Brünswick 为高斯建造一座天文台，先慷慨解囊让 高斯购买一座十英尺长的望远镜。它迟迟才安置好，反射镜经过修正研磨后效果好极。但是要建立天文台，谈何容易！
经过Olbers的周旋， 在1805年高斯将是建造中的哥廷根天文台台长已成定局了。 但是1806 年10月的战争使本来隶属汉诺威王国的哥廷根变成为法国势力下的威斯特伐利亚（Westphalia）王国， 国王是拿破仑小弟Jerôme（他统治不到10年）。
1807年7月25日高斯正式收到哥廷根大学的聘请。 结果 Collegium Carolium 当局因教授指使，来索求高斯使用的望远镜。高斯认为望远镜要归赫尔姆施泰特大学的 Pfaff 教授保有才能发挥那一座望远镜的功能。但是他的意见没有被采纳，这使他怏怏不乐。他就在不快中离开Brünswick。太太 Johnnna 对 Brünswick 百般不舍，因为她的亲朋全在那儿。
时代的开始
他们一家人在1807年11月21日到达哥廷根。住进旧天文台边的一座老旧房舍。 那时候汉诺威旧政体已经瓦解，威斯特伐利亚新政府尚未组成，所以高斯避免了正式向政府作就任宣誓的尴尬场面。
高斯当哥廷根天文台长兼哥廷根大学教授都还没有领到薪水，法国就已经向新政府发令征收战争金，而高斯的份是2000法郎。这在当时是一大笔钱。有一天 Olbers 寄来 2000法郎给他。不久拉普拉斯来信，告诉高斯他已经在巴黎替高斯付清了这一笔钱。高斯退还了Olbers的钱，至于拉普拉斯，高斯后来加上利息还清了这笔钱。高斯还收到了一笔从美因河畔法兰克福（Frankfurt am Main）寄来的1000 frolin（德国境的一种旧币）匿名捐款，这回他收下了。 过后他获悉那是法兰克福大公为敬佩高斯的功绩，从公款挪出的钱。
科学家兼探险家洪堡（Alexander von Humbolt，1769-1859） 在1804年从南美航海之旅回到巴黎时听到法国科学界对高斯的一片赞赏声， 使他对高斯印象深刻。 后来他在1807年与高斯认识，并多年致力于罗致高斯到柏林大学，但最终没有成功。他与政治家哥哥威廉（Wilhelm von Humbolt，1767-1835） 比高斯更早在哥廷根大学学过。 三个人后来成为终生莫逆之交。
1808年2月29日高斯通知他的双亲当天 Johanna 生了一个女娃， 并以发现 Pallas 的 Olbers 的名字命名为 Wilhelmine。 大家称她 Minma。高斯惋惜Minma要在四年中才有一个生日。 同年4月14日高斯的父亲去世。
1808到1809年间，舒马赫（H. C. Schumacher，1780-1850）来哥廷根跟高斯学天文学。 他记下他与高斯的对话成书，叫做《Gaussiana》。 这本书对后世研究他们两人很有帮助。他们的交往持续到舒马赫去世。 两人的书简集共六册。
1809年9月10日高斯的次子 Louis 诞生。 他的名字是为纪念 Juno 的发现者A. L. Harding，而以 Harding 的名字命名的。Harding从1807年起成为高斯在哥廷根天文台的副手。
生 Minna 时 Johanna 夫人已经是难产，这回生完 Louis 三十一天，在10月11日她便去世了。高斯悲恸已极，写信给Olbers ：“昨夜八点我盖上了我的天使的双眼，在那里，五年来我寻觅到我的天国……” 的确他们的婚姻生活非常美满。高斯给 Bolyai 的信中就有过描述：“我快乐地过着家居生活。当小女儿长出一颗牙齿或是小儿子学到一个新词儿，这在家里就像发现了一颗新星或是新的真理那般重要。”
Johanna的葬礼后高斯出发到不莱梅找 Olbers， 回程去 Altona 找舒马赫， 又去 Brünswick 找故旧寻求慰藉。1927年高斯的孙子Carl在祖父的书堆中找出高斯哀悼亡妻泪痕斑斑的信，信有两部份， 第二部份是在不莱梅写的，日期是10月25日。第一部份他诉说，本来以为亡妻是他永远的伴侣，没想到她一下子就走了。 她一直只以他的快乐为念， 并原谅他的错失。但望她的灵魂能永久伴随他，给他力量，让他不消沉，好好照料三个小孩子。第二部份的信中高斯写他很寂寞。 围绕他的人们让他暂时忘却痛若，但过后悲哀却变成双倍来袭击他。她最后的叮咛是教他不要被悲伤打垮。但望她的爱与善良能活生生地永留他的心中，能助他有勇气奋斗下去。
高斯口中“可爱的小 Louis”却在1810年3月1日猝死，追随妈妈，走了。
高斯的第二部巨著《在太阳周围回转成圆锥曲线的天体之运动论》（Theoria motus corporum coelestium in sectionibus onicis Solem ambientium）在1809年成书，由当时最著名的出版商 F. C. Pertes 印刷。本来他用德文写，后来听从 Pertes 的意见，为普及起见写成拉丁文。 内容是高斯依据开普勒的法则，作出圆锥曲线（椭圆与双曲线；物线不适用） 运动之下的天体轨道计算方法的完全体系。并从观测天体的三个点决定恒星或彗星轨道的一般方法。书的内容终于最小二乘法的解说。
这本书以形式上简洁，文笔优雅、有完美性及独创性著称。当时常有新星出现，天文学家们不得不借它来计算星座的轨道， 因此出版后有四十年之久它成为天文学家们必须精通的教科书。所以学者们对《运动论》的评价很高，世界各地的学会也就争聘高斯为他们的会员了。 法国科学院更在1810年赠送他 Lalande 奖 [为纪念法国数学家及天文学家 J. J. Le Franc ̧ais de Lalande（1732-1807） 所设立的奖] ， 高斯拒受。 后来科学院秘书与 Sophie Germain（1776-1831） 动用奖金的一部分买一座天文摆钟送他，他这才接受，还终生摆设那一座钟在他的房间里。
Sophie Germain是法国女数学家，她生在巴黎富裕人家，自修数学。她为免受岐视， 以 Le Blanc 的男性化名寄出论文，受到拉格朗日（ Lagrange，1736-1813）赏识而出名。 她也以Le Blanc 为名在1804年底与高斯通信讨论《Disquisitiones Arithmeticae》，给高斯深刻的印象。当1807年3月法军入侵 Brünswick 时，她怕高斯受到伤害，请法国军官去问候高斯。到此， 她才掀开她的女子身份。 她的主要贡献在于整数论。 她也因弹性表面的数学理论获得法国科学院的大奖（Grand Prix）。1837年哥廷根大学百年庆时高斯惋惜她已去世， 否则她的成就足够哥廷根大学赠与她荣誉博士学位。
高斯并不重视最小二乘法（Least squares）， 他认为许多从事数值计算的人自然会使用到它。 他在1794年就知道它。1798年在机率计算中用上它，1802年天文学的运算中也用到它。但是勒让德在1806年正式发表了最小二乘法的理论（名称是勒让德命名的）。勒让德抗议高斯在1809年的《运动论》中提及最小二乘法，不过事实上高斯早在1795年（应该是1794年）就发明了它。 后来拉普拉斯当他们两人的仲裁人， 裁定勒让德在发表上有优先权，但两人都分别发明了最小二乘法。勒让德注定在其他他辛苦钻研出来的成果上又跟高斯的发明重复， 如数论中平方剩余的相互法则、超越函数以及几何学的基础理论等。
高斯的研究情绪也有低落的时候。 在1807到1810年间，他写的有关椭圆函数的笔记中突然出现一句用细铅笔写的字：“过这样的日子不如死掉的好。”
为了要获得心灵上的宁静以从事研究工作， 并让孩子们能得到妥善的照顾，高斯很快就想到再婚。他选择的对象是 Johanna 夫人在哥廷根的好朋友 Minna Waldeck（1788.4.15-1831.9.12）。她是高斯在哥廷根大学的同事，法学教授 Johann Peter Waldeck 的小女儿。 她当时刚刚解除与别人的婚约，正意气消沉的时候。高斯先得 Minna 双亲的首肯后写信给Minna。 他坦陈在太太去世不到半年就向她求婚一定不会给人好印象。的确，亡妻的影子一直无法从他心中消失，如今他也只能献出半颗心来。不过向来亡妻很敬爱 Minna，深信 Minna 很乐意替代亡妻照料高斯和孩子们。但望 Minna 能为她自己熟虑后再做决定。Minna答应了婚事。他们在1810年8月10日结婚。高斯这么快便再婚着实让亲朋好友大吃一惊。这回高斯邀请他母亲从Brünswick过来同住。但是 Minna 是贵族出身，他的母亲犹疑到1817年才答应下来。
Minna料理家庭，也很爱护前人留下来的两个孩子。这使高斯对 Minna 满怀感激与谢意。这一次的婚姻也算美满。Minna并给高斯生了两男一女：Eugene（1811年7月11日生，三男）， Wilmhelm（1813年10月23日生， 四男） 与 Therese（1816年6月9日生，次女）。
哥廷根天文台的建筑一直拖延下来。 直到1810年威斯特伐利亚政府为天文台的建造工作做了五年计划， 打算投入20万法郎来完成它。
威斯特伐利亚政府并给高斯贵族封号 Ritter von Gauss， 来酬劳他学术上的贡献。这一年柏林大学邀约高斯去教学，但他与 Minna 结婚已加深了与哥廷根大学的关系，并没有答应这个邀请。
1811年8月，天空上突然出现一颗闪亮的大彗星。高斯在8月22日黄昏时分看到它。几天后他开始观测，这时 von Zach 八月初旬的观测结果已经到手了。 由这些高斯算出这颗大彗星的物线轨道。 它再现时果然在高斯算出的轨道上， 并印证他的预言，亮度增强了。 而欧洲的人们则视这颗大彗星为一代霸主拿破仑开始落败的预兆。
1812年1月30日高斯在哥廷根皇家科学学会上发表超几何级数 1+
的论文。这个级数因a，b，c 取特别的数而可成为二项级数、对数、三角函数等解析学上很重要的级数。高斯是首位对无限级数的收敛性做出研究的数学家。
1812年6月底拿破仑率领近45万大军攻打俄罗斯而取道德国。之前拉普拉斯向拿破仑进言请他对哥廷根大学特别关照。 因为那儿住着当代最顶尖的数学家高斯。
这回的战争拿破仑吃了瘪。俄罗斯军既不迎战，也不讲和却一直退却，并使用坚壁清野战术。而俄罗斯冰冷的冬天也到了，法国军又冷又饿，终于在10月19日开始撤退。但一路上俄罗斯军与德国等同盟军联合起来追击，法国军落败得很惨， 回到法国的残兵只剩下9万余人。
由拿破仑撑腰的威斯特伐利亚王国随着拿破仑的退位（1814年4月6日）在1814 年瓦解。哥廷根又归属于汉诺威王国。
此后十年是高斯成果丰硕的时期。 他出了二十数篇范围广泛的论文， 其中有理论及观测天文学、曲面论、整数论及对数的问题等，还给代数基本定理另两种证明。
1816年9月17日哥廷根新天文台完成了。高斯一家人搬进天文台边西翼的宿舍。
早在1816年6月8日舒马赫给高斯一信，说丹麦王出资让他测量丹麦境内（当年的丹麦国土包括一部份现今德国领土）的经纬线。他问高斯有没有兴趣。高斯在7月5日的信中回答， 如果是在汉诺威境他很乐意参加测量工作，也愿意协助三角座（主要的三个地点） 的计算问题。于是舒马赫运用他的关系，终于在1818年9月由诺威首相正式委任高斯做 Luneburg 地方（过后又扩大范围）的测量工作。（汉诺威地区靠近荷兰边缘的在拿破仑时代已测量过）
测量工作如要测得相隔较远的A、B 两处， 则从 A 点取一近点 C。 由 A、C 观望同一高处测量点 D。 量出
， ∠DAC 与∠ACD。 则
、
与 ∠ADC 可得。 再以 D、C观测 B 点。
长则由
、
长及∠ADB 而可求得。 如果 B 点离 A 点很远， 则得借用有限多个三角形来测出
长。 这种作业叫做测量的三角化。
高斯不但是名义上的测量队（也有军队参与）主持人，他还实地参加测量工作。这是费时又费精力的工作。高斯起先没有想到一投入这个工作竟持续了十年之久。 这期间夏天他几乎是在外地过的。他怕热，天气燠热的时候他很难受。1822年他那当炮兵预备军官的长子 Joseph 也参与测量工作，而且做得很好。
1826年后，高斯虽然不参加实地测量工作。但是测量数据的整理耗费好多时间：得到野外的测量数据后高斯独自投入与测量有关的计算到1848年。这才作成汉诺威王国全域三角化测量3000个据点的坐标。这些成为描绘汉诺威王国地图的基本资料。
1823年贝瑟尔看不惯高斯为测量工作用掉他的精力和时间，写信给他 ：“这些工作次等的数学家就可以完成，用不着您去做。”高斯回他的信说，的确集世界上所有测量成果也不值一个学问前进的定律。但是有时候我们得以相对性来判断价值。他也不能够从这实际上有用的工程抽身。 一则他可以做得比别人好， 二则他不做，这个测量工作便流产了。 还有一件事请贝瑟尔保密：自从1810年威斯特伐利亚 Jêrome 王给他订薪后他的薪水一直没有调整过。为了维持他那一大家子的生活， 他乐意得到这一份工作所带给他的报酬。
1824年10月底回到家高斯才发现整个夏天家里乱七八糟。三个孩子得了麻疹，后来又传给已经病了两年的 Minna 夫人，使得她一时徘徊在生死之间。
亚历山大·冯·洪堡在当时德国的精密科学发展上扮演了很重要的角色。他在普鲁士宫廷上很有影响力，又很识才。他想把鲁普士所属柏林大学（1810年设立）变成像巴黎的工技学院（Ecole Polytechnique）那般出色的学校。 因此他一而再再而三地怂恿高斯去那儿当校长，不用教书，只管研究机构就得。汉诺威政府听到这个消息后赶紧通知在伦敦的英王。不久国王批示高斯的年薪调升为2400 thaler。这也跟政府赏识他的测量业绩有关。高斯于是打消了去柏林大学的意愿。
1821年在野外工作中高斯发明了回光仪（helitope）。它是配有一个能旋转的镜子的光学仪器，镜子可使光线朝向一个固定方向反射，而不受远方的玻璃或光亮物等反射的干扰。在三角化工作时回光仪可以当发光的目标物，也可以做为光的通讯。因为从四、五英里外看它有一二级星的亮度。
在三角化地面的实际工作中对曲面有了了解，高斯于是在1827年发表了有关曲面的论文。他把曲面以参数式表示，并讨论曲面本身具有的性质（intrinsic property），如高斯曲率 K 在保长变换下不变等性质。
后来高斯的学生黎曼（ Berhard Riemann，1826-1866）把高斯的曲面理论发扬光大， 成为黎曼几何学。爱因斯坦就使用黎曼几何学才发明了一般相对论。
注释
[注1] 当时的德国尚未统一，德国境内由三十九个有主权的小王国、小公国等所组成。
[注2]《Disquisitiones Arithmeticae》这一本书的七章内容从来没有被超越过，没有被补充过，也没有被发现有任何的错误。高斯去世后《Disquisitiones Arithmeticae》的第八章 （处理高次同余式）被找出来。 它是高斯早年因考虑出版经费太庞大而被割爱的。 在收录 《高斯全集》时它被放在第一册中， 成为《Disquisitiones Arithmeticae》的第八章，等于成全了高斯早年的意愿。
[注3] 英国在1688-1689年的光荣革命时英王 James II 及他信奉天主教的儿子被逐出国外。1701年英国国会决议王位继承人须为新教徒。英伦三岛（英格兰、苏格兰及爱尔兰）统一于1707年。当时的国王是 Anne 女王 （James II 次女，信奉新教。在位1702-1714）。她的独子在10岁时夭折。她逝世后由 James I 外曾孙，新教徒 Hanover 选侯 George I（在位1714-1727）继承英国王位。他是一位只会讲德语的英王，为英国 Hanover 王朝之始。他的王位由长子 George II（在位 1727-2760） 继任。再来是 George II 的长孙 George III（在位1760- 1820）继位。George III 有众多儿女。他的王位由长子 George IV（在位1820-1830）继承。他的独女早逝，王位便由 George III 三 子 William IV（在位1830-1837） 继位。这些英国 Hanover 王朝诸王兼而是 Hanover 选侯或王 （Hanover 在1814年才成为王国）。William IV 的独女早逝，英国王位便落在 George III 的第四子 Edward 的女儿 Vcctoria（在位 1837-1901） 身上。但是 Hanover 王国不承认女继承人，故由 George III 第五子继位，为George V。从此英王不再兼 Hanover 王了。又，Victoria 为英国 Hanover 王朝最后一人。
[注4] 英译为“George V，The King of Hanover，to the Prince of Mathematicians”。按“Prince”有小邦国之“王”的意思，当时的德国联邦由三十九个邦国所组成。
[注5] 德语国家人名中有“von”与法国人名中有“de”一般来说都是贵族姓氏。 这些字皆有“from”或“of”的意思 ，接着的姓往往是这个人的属地名称。
参考资料
[1] A. Guy Waldo Dunnington， “Carl Friedrich Gauss， Titan of Science” ， Hafner Publishing Co. N. Y. 1955.
本文原
本文原载台湾中央研究院数学研究所发行的《数学传播》杂志，《返朴》经授权转载。