如何看待关于1与0.9999…，的大小争论？

1770年欧拉曾经在《代数的要素》中证明过10＝9.9999⋯⋯，后来也有巴图和谢波特在《实分析引论中》用闭区间套进行过证明，也有人用戴维金分割证明过1与0.99999⋯⋯分割一样，但是如何看待这些证明，与其大小的争论？

无限循环小学0.99999．．．．与1严格相等

这个问题并不能用初等数学的方法来理解，我下面举几个常见的初等方法

无懈可击，对不对？但是我要说的是这三种方法只能帮助你直观理解，但并不能把它们当成１＝0.999.....的严格证明．为什么呢？因为0.99999....是无限循环小数，这的表示已经超出了我们认知的初等数学的范畴了；若类似的用以上这些方法，还可以简单的证明出0.959....=0.96，这样就陷入尴尬了，全部不成立了，整个数学都要崩塌了．怎么办？

我们并不能用初等数学的方法合理解释它，首先要理解从有理数构造实数的方法出发，这时我们更加深刻的认识无理数，而不仅仅停留在我们的认知表面：

引入：设两个非空有理数集合A和B，A并Ｂ为全体有理数，对任意的Ａ中的数a,和Ｂ中的数b,满足a<b,mj A和B构成有理数集的一个分割Ａ／Ｂ．

Ａ和Ｂ可能的情况中有一种：Ａ中没有最大数，Ｂ中没有最小数，此时Ａ／Ｂ中没有确定任何有理数，即Ａ和Ｂ中存在一个＂空隙＂，这些空隙就表示无理数，于是我们重新对无理数下一个严格的定义：Ａ／Ｂ是有理数的一个分割，若Ａ中没有最大数，Ｂ中没有最小数，则称分割Ａ／Ｂ确定了一个无理数c,c大于Ａ中任何有理数，小于Ｂ中任何有理数；

于是我们根据上面得到实数的严格定义：由全体有理数，以及有理数的分割所确定的全体无理数，构成的集合构成实数集．

通过对以上的有理数无理数实数的定义之后，我们就可以对0.999....=1进行严格证明了

设x=0.9999...,作两个有理数集的分割

根据前面的定义可以知道，Ａ／Ｂ确定了实数t=0.999....，分割Ｃ／Ｄ确定了实数1

为证明t=1,我们只需要证明这两个分割是相同的，即证明Ａ＝Ｃ就可以了．

综上所述，我们证明到Ａ／Ｂ和Ｃ／Ｄ是相同的分割，因此0.999．．．．＝１