中考数学压轴题分析：中点辅助线

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【中考真题】

（2021·安徽）如图1，在四边形中，，点在边上，且，，作交线段于点，连接．
（1）求证：；
（2）如图2．若，，，求的长；
（3）如图3，若的延长线经过的中点，求的值．

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【分析】

（1）证明全等，关键找对应的边角关系．根据已知条件中角度相等与平行，可以得到等腰三角形与平行四边形，进而根据证明全等即可．

（2）求线段长考虑勾股、相似、三角等，本题根据条件易得一组子母型相似，进而得到对应边的比例关系，代入求出的长．

（3）遇中点则倍长，先倍长中线，再设未知数根据相似得到比例关系．已知“平行+中点”，只需延长即可，得到一个“X字型”．

设未知数表示BE，CE，然后得到一组相似，代入建立等量关系。

【参考答案】

解：（1）如图1，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，，
四边形是平行四边形，
，
，
在和中，
，
．

（2）【方法一】
，
，
，
，
，
由（1）知：四边形是平行四边形，
，，
，，
，，
，
，
，即，
，
，
，
，即，
．
【方法二】
由（1）知，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，即，
．

（3）如图3，延长、交于点，
，均为等腰三角形，且，
，
，
设，，，
则，，
，
，

的中点，
，
，
，
，
，
，
（即，
，
，即，
，
解得：或（舍去），
．