2021 八省联考痛点和启示 1——北京大兴国际机场

立体几何解答题不考平行垂直、线面角和二面角,却考一个从来没有见过的(网上吐槽这个题是北大数学系的作业题或考试题目)曲率,这种类型的题目放在 20 题,是对全部学生进行考查,那考试中心到底想考什么?到底渗透什么样的信息?

应对考试,现在主流就是刷题,通过大量、重复、机械的刷题来提高成绩,这个方法来的直接,短期见效快,与家长们对分数迫切地追求是吻合的,但长期对学生的终身发展有害。高考要导向教学,首先是要破除这样的应试方式,曲率的考查让学生根本无法通过机械地刷题来实现,学生必须有充足的时间去悟。思维和能力的大发展不是“急”出来的,急功近利,适得其反,在这个地方学生和老师应该更多地去感受“学习是一种慢的艺术”,有“众里寻他千百度”的困惑、纠结、摸索的必经过程,才有“蓦然回首,那人却在灯火阑珊处”的顿悟和惊喜。

有人觉得难度非常大,也有一些初中老师把弧度改为角度拿给某省会城市比较靠前学校初三的学生做,很多学生都做出来了。这个题靠刷题刷不出来看,下面再来回顾一下解答过程:

20.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性,规定:多面体顶点的曲率等于 2  与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫做多面体的面角,角度用弧度制),多面体面上非顶点的曲率均为零,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如:正四面体在每个

形表面的内角的集合.由图可知:四棱锥共有 5 个顶点,5 个面,其中 4 个为三角形,1 个为四边形.所以四棱锥的表面内角和由 4 个为三角形,1 个为四边形组成,

所以这类多面体的总曲率是常数.

【点评 1】北京大兴国际机场反应数学的应用价值。

【点评 2】此题给出“曲率”的概念,要求学生理解这个概念,并在具体的问题情境中求出曲率。对概念的学习:会叙述、会举例、会判断,这也是题目的叙述。

【点评 3】选修 2—2 第 83 页凸多面体的性质:顶点数-棱数+面数 = 2 。题目设置从三棱锥到四棱锥,总曲率都是

, 猜想一般情况也是

, 这是从特殊到一般的归纳推理。类比四棱锥的解题过程,总曲率=

, 逻辑推理:破解此题关键在于找到“棱数,面数”之间的关系,观察就会发现到每条棱被两个平面占用。

【点评 4】此题太精彩了。《高观点下全国卷数学压轴题解题研究三部曲》从解题的思维、看问题的观点……

《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》追求形而上的“道”,但对于绝大部分学生和老师追求,或者说迫于更多地去追求形而下的“术”,通过做一些经典的题目,总结出“术”,这个来的直接,短期见效快,与家长们对分数迫切地追求是吻合的,所以很多老师和学生在不自觉中成了金庸笔下的“剑宗”,演绎到极致,亦是一等一的高手,其实“剑宗”和“气宗”没有绝对的存在,真正的高手,都是剑气双修。道为术之魂,术为道之体,希望通过经典题目的解析、反思、点评和变化悟道驭术。