由教育部考试中心主办的《中国考试》在 2017 年第 11期第 10——16 页刊载了一篇文章《高中数学核心测评案例研究》中提高:数学核心素养在教学和评价中的实施就显得尤为重要与迫切。另外,从高中数学教学的实践来看,评价尤其是高考对中学教学有着重要的影响,因此,学业水平考试与高考命题关系到核心素养的落地与实施。
《标准》将每个核心素养都分成了 3 个水平,并且通过具体的题目告诉学生达到什么要求就对应着那个水平。每一个数学核心素养水平都通过以下 4 个方面进行描述:情境与问题、知识与技能、思维与表达、交流与反思……(《全国卷高考数学分析及应对》全文转载)
理解这些指导思想,对于高考来说,太重要了,在《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》中,从核心素养对 2019 高考题做了比较全面的分析和思考。2020 全国 3 卷理科数学第 21 题,很多学生感觉到试题不难,花了很多时间精力做了很多导数的题目,但就是做得不好。在 2020 年 7 月 7 日《中国考试》的“2020 年高考数学全国卷试题评析”中第 2 条“突出理性思维,考查关键能力”第 4 点“数学语言表达能力的考查”指出“全国 3卷理科第 21 题对数学表达能力的逻辑性和条理性提出了较高要求。”指向了逻辑推理这个核心素养。这个题的考查确实可以实现:学生只通过刷题,确实达不到预期,必须沉下心来,研究核心素养。
六个核心素养相互渗透,史宁中提出高中数学培养目标(三会):会用数学的眼光观察世界(数学抽象),会用数学的思维思考世界(逻辑推理),会用数学的语言表达世界(数学模型)。章建跃指出:运算是“童子功”,推理是“命根子”。数学是看出来,无论是解题还是研究,直观想象引领思维过程。我们再谈逻辑推理这个核心素养。不同的大咖有不同的表述,《高中数学核心测评案例研究》中这样描述:“逻辑推理”素养考查重点是学生运用逻辑推理的基本形式,提出和论评命题、理解事物之间的关联、把握知识结构的能力;形成重论据、有条理、合乎逻辑的思维品质。逻辑推理涉及的行为表现包括:发现问题和提出命题、掌握推理的基本形式和规则、探索和表述论证过程、理解命题体系、有逻辑地进行表达和交流。
一、推理的形式和规则
由条件到结论,充分性还是充要性,学生在具体的问题情境中常常理解不到位。细看学生的表述,发现学生推理过程到处都是问题。
【学生的普遍错误】学生逻辑推理能力不足,肯定有很多学生直接把结论当条件用,如:因为
，所以左边=
。右边=
。
【点评 1】这也是对逻辑推理这个核心素养很好地考查。
法一:用数学归纳法进行证明。
【点评 1】因为数列的离散型,研究数列的根本方法是列出来、观察、归纳、猜想,必修 5教材推导等差等比数列通项公式时,没有选择严谨的迭加法,而是选择了不严谨的不完全归纳法。在严谨和根本方法上,教材选择了后者。科学研究的黄金法则“大胆猜想,小心求证”。猜想不大胆,什么时候才大胆!
【点评 2】数学归纳法作为研究数列的一个基本方法,在适当的时候进行补充。这个问题的解决可以是知识方法的拓展,也可以是思维水平的提升。这样的命题方式在全国卷高考中经常看到。
二、探索和表述论证过程
找到结论和条件的联系,缩小条件和结论的差异,差异视为对立,通过联系进行整合即实现统一。
法二:结论可以用自然语言、自己熟悉的语言重新描述:至少有一个大于等于
,这类命题常常采用反证法。
【点评 1】法一是对问题进行转化,根据假设求出 c 的范围,再根据 c 的范围,推出所有根绝对值都不大于 1;很多学生按照法三列出五种情况,有综上才是对问题的回答。
【点评 2】代数变形和函数观点是处理方程的基本方法,三次方程的根的韦达定理作为基础知识写进了《高观点下函数导数压轴题的系统性解读》。
四、发现问题、提出命题、理解命题体系、不断回到定义和借助定义来思考
【反思概念的学习】
(一)理解
概念学习是高中教学的核心之一,学习概念的基本要求是“会叙述、会举例、会判断、会思考”。会叙述要求精准,抓住关键词,如函数单调性中的'任意’的理解;会举例,是在理解的基础上,举出正例和反例,在概念形成的过程中强调背景知识,注重其应用价值,知道概念的来龙去脉;会判断指得是会根据定义去判断一个具体的事物是否满足,在抓住关键词的基础上,严格按照定义;会思考,会借助定义来解题,在解题的过程常常回到定义中去思考,如果说概念形成的过程是透过现象看本质,那这个过程就是透过本质看现象,经常、反复经历这两个过程,对概念的理解更加透彻。
(二)表达
概念形成的过程并不是一蹴而就,是逐步完善的,比如对于一个简单的等差数列的概念,学生可能首先得出的是:间隔相等的数列为等差数列,进一步修正为:每一项与前一项的差为同一个常数,再进一步修正为:从第二项起,每一项与前一项的差为同一个常数。让学生表达,并在表达的过程不断完善和追求精准。还需要学生精简,如果能够用五句话说清楚的东西,能不能压缩为三句,甚至进一步压缩为一两句话,浓缩的就是精华,往往这一两句话就是本质和关键。现代数学的特征逐渐形成了:概念符号化、证明形式化、逻辑公理化。无论是数学的定义、公式还是模型,利用符号表达,则更加简洁、更加清晰、更加准确,往往一个好的符号语言,对数学的发展也有着重要的意义,如微积分。因此,人们称数学符号及数学符号表达为数学的语言。如何发展学生逻辑推理这个核心素养,如何培养思维,苏霍姆林斯基说:一边观察,一边思考,在观察中思考,在思考中观察。那思考什么,观察什么?《高观点下全国卷高考数学压轴题解题研究三部曲》提出:我们迫切地需要在学生的“四基”——基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验上增加“基本问题的理解和研究”,希望学生在基本问题的理解和研究中,找到通性通法,发展“四基”,进而还能提出一些基本问题,做进一步研究。很多科学重大突破就是对基本问题的重新认知。除了高考中的解析几何都是在解决几何中最基本的一些问题——长度、夹角(平行垂直)、面积等,即使是关于导数的难题都可以转化为一些基本问题——零点问题、不等式恒成立问题、恒成立求参数范围问题。总结出一些基本问题和基本结构,寻找一般处理方式,即通性通法。善于把难题转化为基本问题,是破解压轴题的有效方法。在解题的不同阶段,追问现在是一个什么基本问题,这把解题的推理活动和对问题的认知活动结合在一起,还强化了学生的观察意识。只有推理、只有代数变形,我们会迷乱,而认知活动,对基本问题的认知,追问处理这个基本问题的基本方法(即通性通法),形成看问题的基本观点,为推理和变形指明了方向,这样的追问将思维带来质的飞跃。------------------------------------
