第46讲：角平分线5大模型——垂线段法

角平分线基础知识点：①性质定理：角平分线上的点到这个角两边距离相等②逆定理：在角的内部，且到角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上③等腰三角形底边上的高（中线）平方顶角（三线合一）④三角形3条角平分线交于一点（内心），这一点到三边距离相等

我们的教科书上有这句性质，角平分线上的点到角两边的距离相等。但是在实际题目中，远远不够的，以下总结了考试中常出现的模型。

模型1：角平分线上的点向两边作垂线

利用角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，构造模型，为边相等、角相等、三角形全等创造更多的条件，进而可以快速找到解题的突破口。

模型2：截取构造对称全等

这个模型的基础是在角的两边分别截取 OA=OB，然后在对角线上取任意一点 P，连接 AP，BP。容易证得△APO≌△BPO。注意：一般这样的模型最容易被孩子忽略，因为这个模型里没有的角度，因而对于孩子而言添出 PB 这条辅助线是有难度的。

添加这条辅助线的基本思想是在 ON 上截取 OB，使得 AP=BP。从而构造出一个轴对称。这样的模型一般会出现在截长补短里

利用角平分线图形的对称性，在角的两边构造对称全等三角形，可以得到对应边、对应角相等。利用对称性把一些线段或角进行转移，这是经常使用的一种解题技巧。

模型3：角平分线 垂线构造等腰三角形

这个模型的基础是，在角平分线上任意找一点 P，过点 P 作角平分线的垂线交角的两条边与A、B。这样就构造出了一个等腰三角形AOB，即 OA=OB。这个模型还可以得到P是AB中点。

注意：这个模型与一之间的区别在于垂直的位置。并且辅助线的添加方法一般是延长一段与角平分线垂直的线段。如图中的 PB。

构造此模型可以利用等腰三角形的“三线合一”，也可以得到两个全等的直角三角形，进而得到对应边、对应角相等。这个模型巧妙地把角平分线和三线合一联系了起来。

模型4：角平分线 平行线

这个模型是在角平分线上任意找一个点 P。分别过点 P 作 ON，OM 的平行线 PA， PB。通过角平分线和平行线就可以构成两组等腰三角形 OAP 和 OBP，还能知道四边形OBPA 是一个平行四边形。

有角平分线时，常过角平分线上一点作角的一边的平行线，构造等腰三角形，为证明结论提供更多的条件，体现了角平分线与等腰三角形之间的密切关系。

模型5：角平分线定理