数据结构与算法—二叉排序树详解

前言

前面介绍学习的大多是线性表相关的内容，把指针搞懂后其实也没有什么难度。规则相对是简单的。

再数据结构中树、图才是数据结构标志性产物，(线性表大多都现成api可以使用),因为树的难度相比线性表大一些并且树的拓展性很强，你所知道的树、二叉树、二叉排序树，AVL树，线索二叉树、红黑树、B数、线段树等等高级数据结构。然而二叉排序树是所有的基础，所以彻底搞懂二叉排序树也是非常重要的。

树

参考王道数据结构

二叉树也是树的一种，而二叉排序树又是二叉树的一种。

• 树是递归的，将树的任何一个节点以及节点下的节点都能组合成一个新的树。并且很多操作基于递归完成。
• 根节点： 最上面的那个节点(root)，根节点没有前驱节点，只有子节点（0个或多个都可以）
• 层数： 一般认为根节点是第1层(有的也说第0层)。而树的高度就是层数最高(上图层数开始为1)节点的层数
• 节点关系: 父节点：就是链接该节点的上一层节点,孩子节点:和父节点对应，上下关系。而祖先节点是父节点的父节点(或者祖先）节点。兄弟节点：拥有同一个父节点的节点们！
• 度： 节点的度就是节点拥有孩子节点的个数(是孩子不是子孙).而树的度(最大)节点的度。同时，如果度大于0就成为分支节点,度等于0就成为叶子节点（没有子孙）。

相关性质：

• 树的节点数=所有节点度数 1.
• 度为m的树第i层最多有mi-1个节点。(i>=1)
• 高度而h的m叉树最多（mh-1）/(m-1)个节点(等比数列求和)
• n个节点的m叉树最小高度[logm(n(m-1) 1)]

二叉树

二叉树是一树的一种，但应用比较多，所以需要深入学习。二叉树的每个节点最多只有两个节点。

二叉树与度为2的树的区别：

• 一：度为2的的树必须有三个节点以上，二叉树可以为空。
• 二：二叉树的度不一定为2：比如说斜树。
• 三：二叉树有左右节点区分，而度为2的树没有左右节点的区分。

几种特殊二叉树：

• 满二叉树。高度为n的满二叉树有2n-1个节点

• 完全二叉树：上面一层全部满，最下一层从左到右顺序排列

• 二叉排序树：树按照一定规则插入排序(本文详解)。
• 平衡二叉树：树上任意节点左子树和右子树深度差距不超过1.

二叉树性质：

相比树，二叉树的性质就是树的性质更加具体化。

• 非空二叉树叶子节点数=度为2的节点树 1.本来一个节点如果度为1.那么一直延续就一个叶子，但如果出现一个度为2除了延续原来的一个节点，会多出一个节点需要维系。所以到最后会多出一个叶子。
• 非空第i层最多有2i-1个节点。
• 高为h的树最多有2h-1个节点(等比求和)。
• 完全二叉树若从左往右，从上到下编号如图：

二叉排序(搜索)树

概念

前面铺垫那么多，咱们言归正传，详细实现一个二叉排序树。首先要了解二叉排序树的规则：

• 从任意节点开始，节点左侧节点值总比节点右侧值要小。
• 例如。一个二叉排序树依次插入15，6，23，7，4，71，5，50会形成下图顺序

构造

首先二叉排序树是由若干节点构成。

• 对于node需要这些属性：left，right，和value。其中left和right是左右指针，而value是储存的数据，这里用int 类型。

node类构造为：

class node {//结点public int value;public node left;public node right;public node(){}public node(int value){this.value=value;this.left=null;this.right=null;}public node(int value,node l,node r){this.value=value;this.left=l;this.right=r;}}

既然节点构造好了，那么就需要节点等其他信息构造成树。有了链表构造经验，很容易得知一棵树最主要的还是root根节点。

所以树的构造为：

public class BinarySortTree {node root;//根public BinarySortTree(){root=null;}public void makeEmpty()//变空{root=null;}public boolean isEmpty()//查看是否为空{return root==null;}//各种方法}

主要方法

• 既然已经构造号一棵树，那么就需要实现主要的方法。因为二叉排序树中每个节点都能看作一棵树。所以我们创建方法的是时候加上节点参数(也就是函数对每一个节点都能有效)

findmax(),findmin()

findmin()找到最小节点：

• 因为所有节点的最小都是往左插入，所以只需要找到最左侧的返回即可。

findmax()找到最大节点：

• 因为所有节点大的都是往右面插入，所以只需要找到最右侧的返回即可。
• 代码使用递归函数

public node findmin(node t)//查找最小返回值是node，调用查看结果时需要.value{if(t==null) {return null;}else if(t.left==null) {return t;}else return(findmin(t.left));}public node findmax(node t)//查找最大{if(t==null) {return null;}else if(t.right==null) {return t;}else return(findmax(t.right));}

isContains(int x)

这里的意思是查找二叉查找树中是否存在x。

• 假设我们我们插入x，那么如果存在x我们一定会在查找插入路径的过程中遇到x。因为你可以如果已经存在的点，再它的前方会走一次和它相同的步骤。也就是说前面固定，我来1w次x，那么x都会到达这个位置。那么我们直接进行查找比较即可！

public boolean isContains(int x)//是否存在{node current=root;if(root==null) {return false;}while(current.value!=x&&current!=null) {if(x<current.value) {current=current.left;}if(x>current.value) {current=current.right;}if(current==null) {return false;}//在里面判断如果超直接返回}//如果在这个位置判断是否为空会导致current.value不存在报错 if(current.value==x) {return true;}return false;}

insert(int x)

插入的思想和前面isContains类似。找到自己的位置(空位置)插入。但是又不太一样。你可能会疑问为什么不直接找到最后一个空，然后将current赋值过去current=new node(x)。这样的化current就相当于指向一个new node(x)节点。和树就脱离关系，所以要提前判定是否为空，若为空将它的left或者right赋值即可。

public node insert(int x)// 插入 t是root的引用{node current = root;if (root == null) {root = new node(x);return root;}while (current != null) {if (x < current.value) {if (current.left == null) {return current.left = new node(x);}else current = current.left;} else if (x > current.value) {if (current.right == null) {return current.right = new node(x);}else current = current.right;}}return current;//其中用不到}

• 比如说上面结构插入51

delete(int x)

删除操作算是一个相对较难理解的操作了。

删除节点规则：

• 先找到这个点。这个点用这个点的子树可以补上的点填充该点，然后在以这个点为头删除替代的子节点（调用递归）然后在添加到最后情况（只有一个分支，等等）。
• 首先要找到移除的位置，然后移除的那个点分类讨论，如果有两个儿子，就选右边儿子的最左侧那个点替代，然后再子树删除替代的那个点。如果是一个节点，判断是左空还是右空，将这个点指向不空的那个。不空的那个就替代了这个节点。入股左右都是空，那么他自己变空null就删除了。

删除的节点没有子孙:

• 这种情况不需要考虑，直接删除即可。(途中红色点)。另节点=null即可。

左节点为空、右节点为空：

• 此种情况也很容易，直接将删除点的子节点放到被删除位置即可。

左右节点均不空

• 这种情况相对是复杂的。因为这涉及到一个策略问题。

• 如果拿19或者71节点填补。虽然可以保证部分侧大于小于该节点，但是会引起合并的混乱.比如你若用71替代23节点。那么你需要考虑三个节点(19,50,75)之间如何处理，还要考虑他们是否满，是否有子女。这是个极其复杂的过程。
• 首先，我们要分析我们要的这个点的属性：能够继承被删除点的所有属性。如果取左侧节点(例如17)那么首先能满足所有右侧节点都比他大（右侧比左侧大）。那么就要再这边选一个最大的点让左半枝都比它小。我们分析左支最大的点一定是子树最右侧！
• 如果这个节点是最底层我们很好考虑，可以直接替换值，然后将最底层的点删除即可。但是如果这个节点有左枝。我们该怎么办？
• 这个分析起来也不难，用递归的思想啊。我们删除这个节点，用可以满足的节点替换了。会产生什么样的后果？

• 多出个用过的19节点，转化一下，在左子树中删除19的点！那么这个问题又转化为删除节点的问题，查找左子树中有没有能够替代19这个点的。

所以整个删除算法流程为：

代码为

public node remove(int x, node t)// 删除节点{if (t == null) {return null;}if (x < t.value) {t.left = remove(x, t.left);} else if (x > t.value) {t.right = remove(x, t.right);} else if (t.left != null && t.right != null)// 左右节点均不空{t.value = findmin(t.right).value;// 找到右侧最小值替代t.right = remove(t.value, t.right);} else // 左右单空或者左右都空{if (t.left == null && t.right == null) {t = null;} else if (t.right != null) {t = t.right;} else if (t.left != null) {t = t.left;}return t;}return t;}

完整代码

二叉排序树完整代码为：

package 二叉树;import java.util.ArrayDeque;import java.util.Queue;import java.util.Stack;public class BinarySortTree {class node {// 结点public int value;public node left;public node right;public node() {}public node(int value) {this.value = value;this.left = null;this.right = null;}public node(int value, node l, node r) {this.value = value;this.left = l;this.right = r;}}node root;// 根public BinarySortTree() {root = null;}public void makeEmpty()// 变空{root = null;}public boolean isEmpty()// 查看是否为空{return root == null;}public node findmin(node t)// 查找最小返回值是node，调用查看结果时需要.value{if (t == null) {return null;} else if (t.left == null) {return t;} elsereturn (findmin(t.left));}public node findmax(node t)// 查找最大{if (t == null) {return null;} else if (t.right == null) {return t;} elsereturn (findmax(t.right));}public boolean isContains(int x)// 是否存在{node current = root;if (root == null) {return false;}while (current.value != x && current != null) {if (x < current.value) {current = current.left;}if (x > current.value) {current = current.right;}if (current == null) {return false;} // 在里面判断如果超直接返回}// 如果在这个位置判断是否为空会导致current.value不存在报错if (current.value == x) {return true;}return false;}public node insert(int x)// 插入 t是root的引用{node current = root;if (root == null) {root = new node(x);return root;}while (current != null) {if (x < current.value) {if (current.left == null) {return current.left = new node(x);}else current = current.left;} else if (x > current.value) {if (current.right == null) {return current.right = new node(x);}else current = current.right;}}return current;//其中用不到}public node remove(int x, node t)// 删除节点{if (t == null) {return null;}if (x < t.value) {t.left = remove(x, t.left);} else if (x > t.value) {t.right = remove(x, t.right);} else if (t.left != null && t.right != null)// 左右节点均不空{t.value = findmin(t.right).value;// 找到右侧最小值替代t.right = remove(t.value, t.right);} else // 左右单空或者左右都空{if (t.left == null && t.right == null) {t = null;} else if (t.right != null) {t = t.right;} else if (t.left != null) {t = t.left;}return t;}return t;}}

结语