平讲平说2463期：不给自己刮胡子的理发师，该不该给自己刮胡子，罗素悖论带来数学危机，有位数学大师后...
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文 | 趙玉平
平讲平说2463期#
昨天我们谈到了非常有趣的空地奶牛问题，其实这个问题还可以往更深入里边想。比如说，谁能证明送奶工看到的就不是黑白相间的纸团，他有可能看到的是纸团而不是奶牛。进一步来说，你能证明送奶工看到的不是奶牛是纸团，奶牛在另一处，那你如何证明你自己看到的奶牛是真正的奶牛？其实，这种追问可以无限循环下去，解决方案就是一句话：实践是检验真理的唯一标准。
关键就是“唯一”这两个字。如果你想用你的观点来检验别人的观点，用你认为的真理去检验别人认为的真理，这些做法本身都会存在空地奶牛的问题。
平时我们讲的很多话里边，其实都包含着自相矛盾之处。比如昨天谈到了，在教育孩子过程中，我们会说，我要求你主动自觉去学习。想一下就会发现，要求他学习和主动自觉学习这两件事本身就矛盾，如果他主动自觉去学习，那就不用你要求；一旦你要求他这样去做，他这样去做了，他就不算主动自觉了。
关于这种自相矛盾，我给大家准备了另一个著名的悖论，叫理发师悖论：
在小镇上有一个技艺高超的理发师，他在理发的时候还可以给客人刮胡子。不过这位理发师是有规矩的，他立的规矩就是：刮胡子可以，我只给那些不会自己给自己刮胡子的人刮胡子。这时候也特别简单，如果你平时自己给自己刮胡子，我就不给你刮，如果你平时自己不给自己刮胡子，那好我可以给你刮。
不过这件看起来比较简单的事却包含着巨大的危机。有一天，理发师自己照镜子，发现自己胡子长了，他拿过剃须刀，想给自己刮胡子。本来，如果他直接动手就刮了，那后边所有的故事就都没有了，关键在于，人类是智慧生物，我们会思考。这个理发师在刮胡子之前他就思考了，他想了一个问题，我一旦给自己刮胡子，我就属于自己给自己刮胡子的人，按照规矩，我就不应该给这类人刮胡子，但是如果我不给自己刮胡子了，我就属于自己不给自己刮胡子的人，我就应该给自己刮胡子。那么到底，我该不该给自己刮胡子呢？这一下理发师陷入了左右为难的困境。这就是著名的理发师悖论。
这个悖论是1903年英国数学家罗素提出来的，这个悖论的提出对整个数学领域乃至整个人类认知领域都产生了巨大的影响，它直接导致了第三次数学危机的发生。很多人都觉得奇怪，理发师刮不刮胡子的问题怎么就影响了数学的发展？怎么就改变了人类的认知？我们来谈一谈这个问题。
其实理发师悖论还可以用更抽象的数学语言来表达，按照罗素的观点，这种表达大致是这样的：
现在我们构造一个集合大S，这个大S由一切不属于自身的集合小s组成。那么接下来请问，小s是否属于大S？想一想，如果小s属于大S，根据定义，它就不应该属于大S；那么反之，如果它不属于大S，根据定义，它就应该属于大S。明眼人一眼就看出来了，这属于定义本身有漏洞。罗素借助悖论，想揭示的关键点也在这里。
在19世纪末20世纪初，有一个革命性的理论被提出来了。德国数学家康托尔经过多年的努力建立了集合论和超穷数理论。这个理论被称为19世纪末20世纪初最伟大的数学成就。不过作为新生事物，康托尔建立的集合论瑕疵也很明显，就是对于集合中的元素不加限制、不加定义，所以后来人们把这种集合论又称为朴素集合论。前面我们提到的理发师悖论，它的更抽象的表达形式被称为罗素悖论。数学家罗素就是想用这个悖论来揭示朴素集合论存在的严重的漏洞和瑕疵。当时康托尔的集合论受到了广泛的赞誉，人们认为它具有划时代的意义。在世界第一次数学大会上，有专家就提出，人类关于数学无穷的革命几乎是由康托尔一个人独立完成的。就在这样的背景下，罗素站出来指出了集合论存在的问题。
罗素悖论的提出在当时的数学领域和逻辑学领域引起了极大的震动。比如德国著名的逻辑学家弗雷格写了一本关于集合的基础理论的书，书都写好了，在出版之前他看到了罗素悖论，无奈之下他在自己的著作结尾处写了一句话：一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于在他的工作即将完成的时候，他自己发现所干的工作的基础崩溃了。理发师悖论推动了人们认知的升级，催生了第三次数学危机，最终导致朴素集合论升级为公理化集合论。在公理化集合论的背景下，这个悖论就得到了很好的解决。
不过理发师悖论给集合论的提出者康托尔带来了巨大的挑战。康托尔在提出集合论之后，一直面临着来自各方面的批评和指责，而罗素提出的理发师悖论，对这种情况起到了雪上加霜的作用。因为集合论，康托尔恩师反目，好友断交，四面楚歌，而对于悖论所揭示的问题，他一时又找不到更好的解决办法。1884年，康托尔精神崩溃，他患上了精神分裂症。1918年的1月，集合论的创建者、卓越的数学家康托尔，死于哈雷—维滕贝格大学附近的一家精神病院。一个悖论背后的曲折故事和一代大师人生的起落沉浮，让我们充满了感慨，充满了感叹。
其实语言中的悖论现象，每天在我们身上都会发生。比如举个简单的例子，我说“我现在说的这句话是错的”，好了，接下来悖论就发生了。大家可以想一想，其实这句话里边包含着很奇妙的自相矛盾之处。进一步的探讨，我们要留给明天了。
今天内容就讲到这儿。平讲平说，咱们明天接着说。