三角形（二十九）

我们来看一个比较难的旋转的例子。

例 在正△ABC内有一点O，已知∠AOB=117°，∠BOC=121°，若有一个三角形的三边边长恰为OA、OB、OC。求这个三角形各角度数。

这个题的妙处就在于：你如果想通过精确地作图然后量出三个角的大小是有一定困难的，因为笔的粗细加上些许的误差，和最后的结果差1°是很正常的，所以我们似乎只能通过硬实力而没有投机取巧的办法来解决了。

思路怎么来？最后要我们求的是一个特殊三角形的内角，那么这个特殊三角形是不是应该构造出来？于是很自然的问题：我们该怎么把这个目标三角形给找到？

等等，就算构造出来了目标三角形，这个角度似乎也不好计算，又不是特殊角，所以想通过余弦定理硬算是很困难的。而且从图中看，这三条线段的长度似乎也差不多，所以应该是构成一个锐角三角形，但是给出的条件都是钝角，这些角之间有什么联系？

再考察一下，现在这个题目的背景是放在正三角形里，而正三角形终最多的角度是多少呢？没错，60°！所以这些钝角和锐角之间是不是应该正好差了60度呢？

能想到60度，这就有点意思了。我们怎么能够让某个角减去60°呢？比如，∠AOB减去60°会是什么样呢？

我们不妨从∠AOB中截一个角等于60°，作∠AOD=60°之后，是不是很自然地会想截取DO=AO了？因为这样会有一个正△AOD出来。等等，既然DO=AO了，如果我们能证明DB=OC的话，那么△DOB不就是我们要找的三角形？

这个结论对不对呢？

由于∠DAB+∠BAO=60°=∠BAO+∠OAC，所以∠DAB=∠OAC，AB=AC，AD=AO，所以△ADB全等于△AOC，于是DB=OC，因此△DOB就是我们要找的三角形。

很显然，∠DOB=∠AOB-∠AOD=117°-60°=57°，∠BDO=∠ADB-60°=∠AOC-60°=360°-117°-121°-60°=62°，∠DBO=180°-57°-62°=61°。

你看，几乎就是个正三角形，所以试图通过精确作图的方法在本题中并不可靠。